Derivative at a point, Standard differentiation Questions in Hindi

(A) हम जानते हैं कि $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos(2^{n-1}\theta) = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ होता है।
यहाँ, $n=5$ और $\theta = x$ है, इसलिए $f(x) = \frac{\sin(32x)}{32 \sin x}$।
भागफल नियम का उपयोग करने पर, $f'(x) = \frac{1}{32} \left[ \frac{32 \cos(32x) \sin x - \cos x \sin(32x)}{\sin^2 x} \right]$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर, $\sin(32 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(8\pi) = 0$ और $\cos(32 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(8\pi) = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $f' \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{32} \left[ \frac{32(1) \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4)(0)}{\sin^2(\pi/4)} \right]$।
$f' \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{32 \sin(\pi/4)}{32 \sin^2(\pi/4)} = \frac{1}{\sin(\pi/4)} = \text{cosec} \left( \frac{\pi}{4} \right)$।

(D) दिया गया है $g(x) = (x^2 + 2x + 1) \cdot f(x)$।
अवकलन के गुणन नियम का उपयोग करने पर: $g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x + 1) \cdot f(x) + (x^2 + 2x + 1) \cdot f'(x)$।
$g'(x) = (2x + 2) \cdot f(x) + (x^2 + 2x + 1) \cdot f'(x)$।
$x = 0$ पर: $g'(0) = (2(0) + 2) \cdot f(0) + (0^2 + 2(0) + 1) \cdot f'(0) = 2 \cdot f(0) + 1 \cdot f'(0)$।
दिया गया है $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 5}{x} = 4$, चूँकि $f(0) = 5$, यह सीमा अवकलज $f'(0) = 4$ को दर्शाती है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $g'(0) = 2(5) + 1(4) = 10 + 4 = 14$।

(D) $1$. परिभाषा के अनुसार, एक फलन $f(x)$ सम होता है यदि सभी $x \in R$ के लिए $f(-x) = f(x)$ हो।
$2$. श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[f(x)]$।
$3$. इससे हमें $f'(-x) \cdot (-1) = f'(x)$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $f'(-x) = -f'(x)$ हो जाता है।
$4$. एक फलन $g(x)$ विषम होता है यदि $g(-x) = -g(x)$ हो। चूँकि $f'(-x) = -f'(x)$ है, अतः $f'(x)$ एक विषम फलन है।

(C) माना $y = \tan^{-1}(a + bx)$ है।
श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, $x$ के सापेक्ष अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (a + bx)^2} \cdot \frac{d}{dx}(a + bx) = \frac{b}{1 + (a + bx)^2}$।
दिया गया है कि $x = 0$ पर, $\frac{dy}{dx} = 1$:
$\frac{b}{1 + (a + 0)^2} = 1 \implies \frac{b}{1 + a^2} = 1 \implies b = 1 + a^2$।
हमें $a^6 - b^3$ का मान ज्ञात करना है। $b = 1 + a^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a^6 - (1 + a^2)^3 = a^6 - (1^3 + 3(1)^2(a^2) + 3(1)(a^2)^2 + (a^2)^3)$।
$a^6 - (1 + 3a^2 + 3a^4 + a^6) = -1 - 3a^2 - 3a^4$।
यदि $a=0$ रखा जाए, तो $b=1$ प्राप्त होता है, जिससे $a^6 - b^3 = -1$ प्राप्त होता है। विकल्प $C$ में $a=0$ रखने पर $-1$ प्राप्त होता है। अतः, $C$ सही विकल्प है।

(A) दिया गया है $y = \sqrt{p x^3 y}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $y^2 = p x^3 y$ प्राप्त होता है। चूँकि $y \neq 0$, हम $y$ से विभाजित कर सकते हैं जिससे $y = p x^3$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें $\frac{dy}{dx} = 3 p x^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि जब $y = 1$ है, तब $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}$ है। $y = p x^3$ से, जब $y = 1$, तो $1 = p x^3$, इसलिए $x^3 = \frac{1}{p}$, जिसका अर्थ है $x = p^{-1/3}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}$ और $x = p^{-1/3}$ को अवकलज समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{2} = 3 p (p^{-1/3})^2$
$\frac{3}{2} = 3 p (p^{-2/3})$
$\frac{3}{2} = 3 p^{1/3}$
$\frac{1}{2} = p^{1/3}$
$p = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$।
नोट: दिए गए विकल्पों में सही मान $\frac{1}{8}$ शामिल नहीं है। यदि हम प्रश्न में $y^2 = p x^3$ की त्रुटि मान लें, तो $p = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $y = \sin(e^{\log 2x})$।
गुणधर्म $e^{\log_e f(x)} = f(x)$ का उपयोग करते हुए, हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$y = \sin(2x)$।
अब, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2\cos(2x)$।
अवकलज में $x = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\pi)$।
चूँकि $\cos(\pi) = -1$, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = 2(-1) = -2$।

(A) दिया गया है $y = (x + (x^2 + 1)^{1/2})^{1/2}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x + (x^2 + 1)^{1/2})^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x + (x^2 + 1)^{1/2})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \cdot (1 + \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \cdot (\frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{2y\sqrt{x^2 + 1}}$

(A) दिया है $y = \sin(2 \sin^{-1} x)$।
माना $\sin^{-1} x = \theta$, तब $x = \sin \theta$।
अतः, $y = \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$।
चूंकि $\sin \theta = x$, इसलिए $\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}$।
इस प्रकार, $y = 2x \sqrt{1 - x^2}$।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1 - x^2}) + \sqrt{1 - x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x) \right]$
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} + \sqrt{1 - x^2} \cdot 1 \right]$
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ \frac{-x^2 + (1 - x^2)}{\sqrt{1 - x^2}} \right] = 2 \left[ \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \right] = \frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$।

(C) माना $f(x)$ घात $n$ का एक बहुपद है। तब $f'(x)$ की घात $n-1$ होगी।
$f(x) = [f'(x)]^2$ में घातों की तुलना करने पर, हमें $n = 2(n-1)$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $n = 2n - 2$, अतः $n = 2$।
माना $f(x) = a(x-h)^2$।
तब $f'(x) = 2a(x-h)$।
दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $a(x-h)^2 = [2a(x-h)]^2 = 4a^2(x-h)^2$।
यह सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु, $a = 4a^2$, अतः $a = 1/4$ (क्योंकि $a \neq 0$)।
दिया है $f(2) = 0$, अतः शीर्ष $h = 2$ पर है।
इस प्रकार, $f(x) = \frac{1}{4}(x-2)^2$।
$f(-2)$ की गणना करने पर: $f(-2) = \frac{1}{4}(-2-2)^2 = \frac{1}{4}(-4)^2 = \frac{16}{4} = 4$।