Derivative at a point, Standard differentiation Questions in Hindi

(D) माना $f(x) = (x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$ है।
$(x-1)$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{(x^8-1)(x^8+1)}{(x-1)} = \frac{x^{16}-1}{x-1}$।
अब, भागफल नियम $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{16}-1}{x-1}\right) = \frac{(16x^{15})(x-1) - (x^{16}-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{16x^{16} - 16x^{15} - x^{16} + 1}{(x-1)^2} = \frac{15x^{16} - 16x^{15} + 1}{(x-1)^2}$।
दिए गए व्यंजक $\frac{15x^p - 16x^q + 1}{(x-1)^2}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $p = 16$ और $q = 15$ प्राप्त होता है।
अतः, $(p, q) = (16, 15)$।

(C) दिया गया है $y = (1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})$.
$(1-x)$ से गुणा और भाग करने पर:
$y = \frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}$
सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ का बार-बार उपयोग करने पर:
$y = \frac{(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x} = \frac{(1-x^4)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}$
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$
अब, भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1-x)(-2^{n+1}x^{2^{n+1}-1}) - (1-x^{2^{n+1}})(-1)}{(1-x)^2}$
$x=0$ रखने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = \frac{(1-0)(0) - (1-0)(-1)}{(1-0)^2} = \frac{0 + 1}{1} = 1$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{ax} + \frac{a^2}{\sqrt{ax}}$ है।
हम फलन को $f(x) = \sqrt{a} \cdot x^{1/2} + a^2 \cdot \sqrt{a}^{-1} \cdot x^{-1/2} = \sqrt{a} \cdot x^{1/2} + a^{3/2} \cdot x^{-1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करते हुए:
$f^{\prime}(x) = \sqrt{a} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} + a^{3/2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-3/2}$.
$f^{\prime}(x) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}} - \frac{a^{3/2}}{2x\sqrt{x}}$.
अब, अवकलज में $x = a$ रखने पर:
$f^{\prime}(a) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{a}} - \frac{a^{3/2}}{2a\sqrt{a}}$.
$f^{\prime}(a) = \frac{1}{2} - \frac{a^{3/2}}{2a^{3/2}}$.
$f^{\prime}(a) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

(C) दिया गया है $y = x \sin x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dy}{dx} = x \cos x + \sin x$ प्राप्त होता है।
अब, व्यंजक $\frac{\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x}}{x \frac{dy}{dx} - y}$ पर विचार करें।
$\frac{dy}{dx} = x \cos x + \sin x$ और $y = x \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर:
अंश: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = (x \cos x + \sin x) - \frac{x \sin x}{x} = x \cos x + \sin x - \sin x = x \cos x$।
हर: $x \frac{dy}{dx} - y = x(x \cos x + \sin x) - x \sin x = x^2 \cos x + x \sin x - x \sin x = x^2 \cos x$।
इस प्रकार, व्यंजक $\frac{x \cos x}{x^2 \cos x} = \frac{1}{x}$ हो जाता है।
दिया गया है कि $x = \alpha$ पर यह व्यंजक $1$ है, इसलिए $\frac{1}{\alpha} = 1$, जिसका अर्थ है $\alpha = 1$।

(A) दिया गया है $f(x) = \sin \left(\cosh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)\right)$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \cos \left(\cosh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)\right) \cdot \sinh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right) \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)$।
आंतरिक पद के अवकलन के लिए भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx} \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right) = \frac{(x^2+2)(2x) - (x^2+1)(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^3 + 4x - 2x^3 - 2x}{(x^2+2)^2} = \frac{2x}{(x^2+2)^2}$।
अतः, $f^{\prime}(x) = \cos \left(\cosh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right)\right) \cdot \sinh \left(\frac{x^2+1}{x^2+2}\right) \cdot \frac{2x}{(x^2+2)^2}$।
$x = 1$ पर मान रखने पर:
$f^{\prime}(1) = \cos \left(\cosh \left(\frac{1^2+1}{1^2+2}\right)\right) \cdot \sinh \left(\frac{1^2+1}{1^2+2}\right) \cdot \frac{2(1)}{(1^2+2)^2} = \frac{2}{9} \sinh \left(\frac{2}{3}\right) \cos \left(\cosh \left(\frac{2}{3}\right)\right)$।

(A) माना $u = x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{3}{2}}+1$ और $v = x^2-3 x+5$ है। गुणन नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ का उपयोग करते हुए:
$u' = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$
$v' = 2x-3$
$\frac{d}{dx}(uv) = (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})(x^2-3 x+5) + (x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{3}{2}}+1)(2 x-3)$
$= (\frac{5}{2} x^{\frac{7}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{25}{2} x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{9}{2} x^{\frac{3}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}}) + (2 x^{\frac{7}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{5}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + 2 x - 3)$
$= (\frac{5}{2} + 2) x^{\frac{7}{2}} + (-\frac{15}{2} - \frac{3}{2} - 3 - 2) x^{\frac{5}{2}} + (\frac{25}{2} + \frac{9}{2} + 3) x^{\frac{3}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$
$= \frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}} - 14 x^{\frac{5}{2}} + 20 x^{\frac{3}{2}} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$

(C) माना $y = \log \left(\sin \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}\right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}} \cdot \cos \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+2}}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2+1}{x^2+2} \right)$.
आंतरिक भाग का अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2+1}{x^2+2} \right) = \frac{2x(x^2+2) - 2x(x^2+1)}{(x^2+2)^2} = \frac{2x^3+4x-2x^3-2x}{(x^2+2)^2} = \frac{2x}{(x^2+2)^2}$.
$x = \sqrt{2}$ रखने पर, $\frac{x^2+1}{x^2+2} = \frac{2+1}{2+2} = \frac{3}{4}$.
अतः, $\frac{dy}{dx} = \cot \left( \sqrt{\frac{3}{4}} \right) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{3/4}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{(2+2)^2} = \cot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{16} = \cot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2} \cot \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{8 \sqrt{3}}$.

(B) दिया गया है, $x = \frac{1-\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}}$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{1+x}{1-x} = \frac{(1+\sqrt{y})+(1-\sqrt{y})}{(1+\sqrt{y})-(1-\sqrt{y})}$
$\frac{1+x}{1-x} = \frac{2}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $\sqrt{y} = \frac{1-x}{1+x}$, अतः $y = \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2$.
अब, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$
भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$
अतः, $\frac{dy}{dx} = 2\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \cdot \left(\frac{-2}{(1+x)^2}\right) = \frac{-4(1-x)}{(1+x)^3} = \frac{4(x-1)}{(1+x)^3}$.

(C) दिया गया है $y=\log \left[\tan \sqrt{\frac{2^x-1}{2^x+1}}\right]$.
माना $v = \frac{2^x-1}{2^x+1}$. $x=1$ पर, $v = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए, $\frac{dv}{dx} = \frac{(2^x+1)(2^x \log 2) - (2^x-1)(2^x \log 2)}{(2^x+1)^2} = \frac{2^x \log 2 (2^x+1-2^x+1)}{(2^x+1)^2} = \frac{2 \cdot 2^x \log 2}{(2^x+1)^2} = \frac{2^{x+1} \log 2}{(2^x+1)^2}$.
$x=1$ पर, $\left(\frac{dv}{dx}\right)_{x=1} = \frac{2^2 \log 2}{(2+1)^2} = \frac{4 \log 2}{9}$.
अब, $y = \log(\tan \sqrt{v})$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan \sqrt{v}} \cdot \sec^2 \sqrt{v} \cdot \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
$\frac{1}{\tan \sqrt{v}} \cdot \sec^2 \sqrt{v} = \frac{\cos \sqrt{v}}{\sin \sqrt{v}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \sqrt{v}} = \frac{1}{\sin \sqrt{v} \cos \sqrt{v}} = \frac{2}{\sin(2\sqrt{v})}$ का उपयोग करते हुए.
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin(2\sqrt{v})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sin(2\sqrt{v}) \cdot \sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
$x=1$ पर, $v = \frac{1}{3}$, इसलिए $\sqrt{v} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = \frac{1}{\sin(2/\sqrt{3}) \cdot (1/\sqrt{3})} \cdot \frac{4 \log 2}{9} = \frac{\sqrt{3} \cdot 4 \log 2}{9 \sin(2/\sqrt{3})} = \frac{4 \sqrt{3} \log 2}{9 \sin(2/\sqrt{3})}$.

(D) दिया गया है $f(x) = \sqrt{\log(x^2+x+1) + \sqrt{\cosh(2x-3)}}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर, $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\log(x^2+x+1) + \sqrt{\cosh(2x-3)}}} \cdot \left( \frac{2x+1}{x^2+x+1} + \frac{2\sinh(2x-3)}{2\sqrt{\cosh(2x-3)}} \right)$।
$x=0$ पर, $f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{\log(1) + \sqrt{\cosh(-3)}}} \cdot \left( \frac{1}{1} + \frac{\sinh(-3)}{\sqrt{\cosh(-3)}} \right)$।
चूंकि $\log(1) = 0$, $\cosh(-3) = \cosh(3)$, और $\sinh(-3) = -\sinh(3)$:
$f'(0) = \frac{1 - \frac{\sinh(3)}{\sqrt{\cosh(3)}}}{2\sqrt{\sqrt{\cosh(3)}}} = \frac{\sqrt{\cosh(3)} - \sinh(3)}{2(\cosh(3))^{1/2} \cdot (\cosh(3))^{1/4}} = \frac{\sqrt{\cosh(3)} - \sinh(3)}{2(\cosh(3))^{3/4}}$।

(A) नोट: लघुगणक का आधार $e$ मान रहे हैं।
दिया गया है:
कथन: $x < 0$ के लिए, $\frac{d^2}{d x^2}(\log |x|) = \frac{1}{|x|^2}$.
कारण: $x < 0$ के लिए, $|x| = -x$.
माना $f(x) = \log |x|$.
$x < 0$ के लिए, हमारे पास $|x| = -x$ है, इसलिए $f(x) = \log(-x)$.
अब, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x}(\log(-x)) = \frac{1}{-x} \cdot \frac{d}{d x}(-x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$.
अब, पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2}{d x^2}(\log |x|) = \frac{d}{d x}(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2}$.
चूंकि $|x|^2 = (-x)^2 = x^2$, कथन में $\frac{1}{x^2}$ दिया गया है, लेकिन हमें $-\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
अतः, कथन गलत है और कारण सही है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \log \left[e^x \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{3/4}\right]$ है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, $\log(ab) = \log a + \log b$ और $\log(a^n) = n \log a$, हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$f(x) = \log(e^x) + \log \left(\left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{3/4}\right)$
$f(x) = x + \frac{3}{4} [\log(x-2) - \log(x+2)]$.
अब, $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{3}{4} \left[ \frac{d}{dx}(\log(x-2)) - \frac{d}{dx}(\log(x+2)) \right]$
$f'(x) = 1 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right)$.
कोष्ठक के अंदर के पद को सरल बनाने पर:
$\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) - (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{x^2-4}$.
इस मान को अवकलज में वापस रखने पर:
$f'(x) = 1 + \frac{3}{4} \left( \frac{4}{x^2-4} \right) = 1 + \frac{3}{x^2-4}$.
अंत में, $x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f'(0) = 1 + \frac{3}{0^2-4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

(C) दिया गया है कि $g(x)$, $f(x)$ का प्रति-अवकलज है, इसलिए $g^{\prime}(x) = f(x)$ है।
हमें वह फलन $h(x)$ ज्ञात करना है जिसके लिए $\int h(x) \, dx = \log _e(1+(g(x))^2) + c$ हो।
प्रति-अवकलज की परिभाषा के अनुसार, $h(x) = \frac{d}{dx} [\log _e(1+(g(x))^2) + c]$ होगा।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{d}{dx} [\log _e(1+(g(x))^2)] = \frac{1}{1+(g(x))^2} \cdot \frac{d}{dx} (1+(g(x))^2)$ होगा।
$= \frac{1}{1+(g(x))^2} \cdot (2 g(x) \cdot g^{\prime}(x))$।
चूंकि $g^{\prime}(x) = f(x)$, हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$h(x) = \frac{2 g(x) f(x)}{1+(g(x))^2}$।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है $y = \frac{e^{\sin x} + \sinh^3 x}{\cosh x - \tan x}$।
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u = e^{\sin x} + \sinh^3 x$ और $v = \cosh x - \tan x$ है।
सबसे पहले, $x = 0$ पर अवकलज ज्ञात करें:
$u(0) = e^{\sin 0} + \sinh^3 0 = e^0 + 0 = 1$.
$u'(x) = e^{\sin x} \cos x + 3 \sinh^2 x \cosh x$.
$u'(0) = e^0 \cos 0 + 3 \sinh^2 0 \cosh 0 = 1 \cdot 1 + 0 = 1$.
$v(0) = \cosh 0 - \tan 0 = 1 - 0 = 1$.
$v'(x) = \sinh x - \sec^2 x$.
$v'(0) = \sinh 0 - \sec^2 0 = 0 - 1 = -1$.
अब, इन मानों को $x = 0$ पर भागफल नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$y'(0) = \frac{u'(0)v(0) - u(0)v'(0)}{(v(0))^2} = \frac{(1)(1) - (1)(-1)}{(1)^2} = \frac{1 + 1}{1} = 2$.
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $u = \cosh^{-1} x$ है। इसका अवकलज $\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ है।
माना $v = \log x$ है। इसका अवकलज $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$ है।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{1/\sqrt{x^2-1}}{1/x} = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ ज्ञात करना है।
$x=5$ पर, $\frac{du}{dv} = \frac{5}{\sqrt{5^2-1}} = \frac{5}{\sqrt{25-1}} = \frac{5}{\sqrt{24}}$।

(A) दिया गया है कि $e^x = y + \sqrt{y^2 - 1}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $e^x - y = \sqrt{y^2 - 1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $(e^x - y)^2 = y^2 - 1$ प्राप्त होता है।
वर्ग का विस्तार करने पर: $e^{2x} + y^2 - 2ye^x = y^2 - 1$।
सरल करने पर, $e^{2x} + 1 = 2ye^x$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $y = \frac{e^{2x} + 1}{2e^x} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$।
अब, $y = \cosh x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dy}{dx} = \sinh x$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $y = \cos^{-1}(\tanh x) + \sinh(\sin 6x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos^{-1}(\tanh x)) + \frac{d}{dx}(\sinh(\sin 6x))$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1 - \tanh^2 x}} \cdot \frac{d}{dx}(\tanh x) + \cosh(\sin 6x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin 6x)$
सर्वसमिका $1 - \tanh^2 x = \text{sech}^2 x$ और $\frac{d}{dx}(\tanh x) = \text{sech}^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{\text{sech}^2 x}} \cdot \text{sech}^2 x + \cosh(\sin 6x) \cdot (6 \cos 6x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\text{sech} x} \cdot \text{sech}^2 x + 6 \cos 6x \cosh(\sin 6x)$
$\frac{dy}{dx} = -\text{sech} x + 6 \cos 6x \cosh(\sin 6x)$ (नोट: $\text{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$)
$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\cosh x} + 6 \cos 6x \cosh(\sin 6x)$.
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $y = \tan(\cos^{-1} x)$।
माना $\cos^{-1} x = \theta$, तो $\cos \theta = x$।
हम जानते हैं कि $\tan \theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$।
अतः, $y = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$।
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1 - x^2}) - \sqrt{1 - x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} - \sqrt{1 - x^2}}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-x^2}{\sqrt{1 - x^2}} - \sqrt{1 - x^2}}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 - (1 - x^2)}{x^2 \sqrt{1 - x^2}} = \frac{-1}{x^2 \sqrt{1 - x^2}}$।

(B) $t$ के सापेक्ष $\tan t + t^2 \operatorname{cosech} t$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए, हम योग नियम और गुणन नियम का उपयोग करते हैं।
$\tan t$ का अवकलन $\sec^2 t$ होता है।
$t^2 \operatorname{cosech} t$ के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dt}(t^2 \operatorname{cosech} t) = \frac{d}{dt}(t^2) \cdot \operatorname{cosech} t + t^2 \cdot \frac{d}{dt}(\operatorname{cosech} t)$.
चूंकि $\frac{d}{dt}(t^2) = 2t$ और $\frac{d}{dt}(\operatorname{cosech} t) = -\operatorname{cosech} t \operatorname{coth} t$, इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$2t \operatorname{cosech} t + t^2(-\operatorname{cosech} t \operatorname{coth} t) = 2t \operatorname{cosech} t - t^2 \operatorname{cosech} t \operatorname{coth} t$.
इन दोनों को जोड़ने पर, अंतिम परिणाम $\sec^2 t + 2t \operatorname{cosech} t - t^2 \operatorname{cosech} t \operatorname{coth} t$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए प्रतिलोम फलनों के अवकलज इस प्रकार हैं:
$(A)$ $\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$, जहाँ $|x| > 1$। यह $III$ से मेल खाता है।
$(B)$ $\frac{d}{dx}(\tanh^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2}$, जहाँ $x \in (-1, 1)$। यह $I$ से मेल खाता है।
$(C)$ $\frac{d}{dx}(\coth^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2}$, जहाँ $x \in R - [-1, 1]$। यह $IV$ से मेल खाता है।
$(D)$ $\frac{d}{dx}(\operatorname{cosech}^{-1} x) = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2+1}}$, जहाँ $x \neq 0$। यह $II$ से मेल खाता है।
अतः, सही सुमेलन $A-III, B-I, C-IV, D-II$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \cosh^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
अवकलन सूत्र $\frac{d}{dx}(\cosh^{-1}(u)) = \frac{1}{\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{du}{dx}$ का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2 - 1}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{(1-x)^2 - (1+x)^2}{(1+x)^2}}} \cdot \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1+x}{\sqrt{1 - 2x + x^2 - (1 + 2x + x^2)}} \cdot \frac{-1 - x - 1 + x}{(1+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1+x}{\sqrt{-4x}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1+x}{2\sqrt{-x}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{-x}}$.

(B) दिया गया है $y=\tan ^{-1}(\sin \sqrt{x})+\operatorname{cosec}^{-1}\left(e^{2 x+1}\right)$.
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर:
$\frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\sin \sqrt{x})) = \frac{1}{1+(\sin \sqrt{x})^2} \cdot \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}(1+\sin^2 \sqrt{x})}$.
दूसरे पद के लिए, $\frac{d}{dx}(\operatorname{cosec}^{-1}(u)) = -\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}} \cdot \frac{du}{dx}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dx}(\operatorname{cosec}^{-1}(e^{2x+1})) = -\frac{1}{e^{2x+1}\sqrt{(e^{2x+1})^2-1}} \cdot e^{2x+1} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{e^{4x+2}-1}}$.
इन दोनों को जोड़ने पर, हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}(1+\sin ^2 \sqrt{x})} - \frac{2}{\sqrt{e^{4 x+2}-1}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) f(y)$ है।
अवकलज की परिभाषा के अनुसार, $f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$।
दिए गए संबंध का उपयोग करते हुए, $f(x+h) = f(x)f(h)$।
अतः, $f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}$।
चूंकि $f(0+0) = f(0)f(0)$, इसलिए $f(0) = f(0)^2$, जिससे $f(0)=1$ (मानते हुए कि $f(x) \neq 0$)।
इस प्रकार, $f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$।
इसलिए, $f^{\prime}(x) = f(x) \cdot 11$।
$x=3$ पर, $f^{\prime}(3) = f(3) \cdot 11 = 3 \cdot 11 = 33$।

(D) दिया गया है $g(x) = (f(2f(x)+2))^2$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, हम $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करते हैं:
$g^{\prime}(x) = 2(f(2f(x)+2)) \cdot \frac{d}{dx}(f(2f(x)+2))$
$g^{\prime}(x) = 2(f(2f(x)+2)) \cdot f^{\prime}(2f(x)+2) \cdot \frac{d}{dx}(2f(x)+2)$
$g^{\prime}(x) = 2(f(2f(x)+2)) \cdot f^{\prime}(2f(x)+2) \cdot 2f^{\prime}(x)$
$g^{\prime}(x) = 4 \cdot f(2f(x)+2) \cdot f^{\prime}(2f(x)+2) \cdot f^{\prime}(x)$।
अब, $x=0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot f(2f(0)+2) \cdot f^{\prime}(2f(0)+2) \cdot f^{\prime}(0)$।
दिया गया है $f(0)=-1$ और $f^{\prime}(0)=1$:
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot f(2(-1)+2) \cdot f^{\prime}(2(-1)+2) \cdot (1)$
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot f(0) \cdot f^{\prime}(0) \cdot 1$
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot (-1) \cdot (1) \cdot 1 = -4$।

(B) वक्र $y=f(x)$ की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 6x^2+10x-9$ द्वारा दी गई है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \int (6x^2+10x-9) dx = 2x^3+5x^2-9x+C$.
दिया गया है कि $f(2)=0$, इसलिए हम समीकरण में $x=2$ रखते हैं:
$f(2) = 2(2)^3 + 5(2)^2 - 9(2) + C = 0$
$16 + 20 - 18 + C = 0$
$18 + C = 0 \Rightarrow C = -18$.
अतः, फलन $f(x) = 2x^3+5x^2-9x-18$ है।
अब, हम $f(-2)$ ज्ञात करते हैं:
$f(-2) = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 9(-2) - 18$
$f(-2) = 2(-8) + 5(4) + 18 - 18$
$f(-2) = -16 + 20 + 0 = 4$.

(B) दिया गया है, $\frac{d}{d x}\left[a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)\right]=\frac{1}{x^4-1}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \int \frac{1}{x^4-1} dx$.
हम जानते हैं कि $\frac{1}{x^4-1} = \frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+1} \right]$.
अतः, $\int \frac{1}{x^4-1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$.
मानक समाकलन सूत्रों $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right|$ और $\int \frac{1}{x^2+1} dx = \tan^{-1} x$ का उपयोग करने पर:
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = -\frac{1}{2} \tan^{-1} x + \frac{1}{4} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$.
गुणांकों की तुलना करने पर, $a = -\frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः, $a - 2b = -\frac{1}{2} - 2(\frac{1}{4}) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

(C) दिया गया है कि $f(x)$ एक विषम अवकलनीय फलन है।
विषम फलन की परिभाषा के अनुसार, $f(-x) = -f(x)$ होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[-f(x)]$
$-f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$
$f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$
यह दर्शाता है कि एक विषम फलन का अवकलज एक सम फलन होता है।
अब, समीकरण $f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$ में $x = 3$ रखने पर:
$f^{\prime}(-3) = f^{\prime}(3)$
चूँकि हमें दिया गया है कि $f^{\prime}(3) = 2$, इसलिए:
$f^{\prime}(-3) = 2$.

(C) दिया गया है $f(x) = x^m$, जहाँ $m \geq 0$ और $m \in \mathbb{Z}$ है।
सबसे पहले, अवकलज ज्ञात करें: $f^{\prime}(x) = m x^{m-1}$।
दी गई शर्त $f^{\prime}(a+b) = f^{\prime}(a) + f^{\prime}(b)$ है।
अवकलज को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $m(a+b)^{m-1} = m a^{m-1} + m b^{m-1}$।
यदि $m=0$ है, तो $f(x) = 1$, इसलिए $f^{\prime}(x) = 0$। समीकरण $0 = 0+0$ बन जाता है, जो सत्य है, लेकिन सामान्यतः हम $m$ के लिए गैर-तुच्छ मामलों पर विचार करते हैं।
यदि $m=1$ है, तो $f^{\prime}(x) = 1$। समीकरण $1 = 1+1$ बन जाता है, अर्थात $1=2$ (असत्य)।
यदि $m=2$ है, तो $f^{\prime}(x) = 2x$। समीकरण $2(a+b) = 2a + 2b$ बन जाता है, जो $2a+2b = 2a+2b$ में सरल हो जाता है (सत्य)।
यदि $m=3$ है, तो $f^{\prime}(x) = 3x^2$। समीकरण $3(a+b)^2 = 3a^2 + 3b^2$ बन जाता है, जो $a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2$ में सरल हो जाता है, जिसका अर्थ है $2ab = 0$। चूँकि $a, b > 0$, यह असत्य है।
अतः, $m$ का मान $2$ है।

(A) अवकलज $df$ को $df = f'(x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले, हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log_{e}(1 + e^{10x}) - \tan^{-1}(e^{5x})]$
$f'(x) = \frac{1}{1 + e^{10x}} \cdot (10e^{10x}) - \frac{1}{1 + (e^{5x})^2} \cdot (5e^{5x})$
$f'(x) = \frac{10e^{10x}}{1 + e^{10x}} - \frac{5e^{5x}}{1 + e^{10x}}$
$x = 0$ पर, $e^{10(0)} = e^0 = 1$ और $e^{5(0)} = e^0 = 1$ है।
$f'(0) = \frac{10(1)}{1 + 1} - \frac{5(1)}{1 + 1} = \frac{10}{2} - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.
अब, $dx = 0.2$ के लिए अवकलज की गणना करें:
$df = f'(0) \cdot dx = 2.5 \cdot 0.2 = 0.5$.

(C) दिए गए फलन $F(x)=e^{x}$ और $G(x)=e^{-x}$ हैं।
हम $H(x) = G(F(x))$ को परिभाषित करते हैं।
$F(x)$ को $G(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $H(x) = G(e^{x}) = e^{-(e^{x})}$ प्राप्त होता है।
अब, श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $H(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dH}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-e^{x}}) = e^{-e^{x}} \cdot \frac{d}{dx}(-e^{x}) = e^{-e^{x}} \cdot (-e^{x}) = -e^{x} \cdot e^{-e^{x}}$.
$x=0$ पर मान ज्ञात करने के लिए, अवकलज में $x=0$ रखने पर:
$\left. \frac{dH}{dx} \right|_{x=0} = -e^{0} \cdot e^{-e^{0}} = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}$.

(C) दिया गया है $f_1(x) = e^x$ और $f_{n+1}(x) = e^{f_n(x)}$.
$f_n(x) = e^{f_{n-1}(x)}$ के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर, हमें मिलता है $\ln(f_n(x)) = f_{n-1}(x)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f_n(x)} \cdot f_n'(x) = f_{n-1}'(x)$
$\Rightarrow f_n'(x) = f_n(x) \cdot f_{n-1}'(x) \quad \dots (i)$
$n=1$ के लिए, $f_1'(x) = e^x = f_1(x)$.
$n=2$ के लिए, $f_2'(x) = f_2(x) \cdot f_1'(x) = f_2(x) \cdot f_1(x)$.
$n=3$ के लिए, $f_3'(x) = f_3(x) \cdot f_2'(x) = f_3(x) \cdot f_2(x) \cdot f_1(x)$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, किसी भी $n \geq 1$ के लिए, $\frac{d}{dx} f_n(x) = f_n(x) \cdot f_{n-1}(x) \cdot \ldots \cdot f_1(x)$।

(C) दिया गया है, $y=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4}) \ldots (1+x^{2^{n}})$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = \log(1+x) + \log(1+x^{2}) + \log(1+x^{4}) + \ldots + \log(1+x^{2^{n}})$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}} + \ldots + \frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}}$.
अतः, $\frac{d y}{d x} = y \left[ \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \ldots + \frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{1+x^{2^{n}}} \right]$.
$x=0$ पर, $y = (1+0)(1+0) \ldots (1+0) = 1$.
अवकलज व्यंजक में $x=0$ रखने पर:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=0} = 1 \left[ \frac{1}{1+0} + 0 + 0 + \ldots + 0 \right] = 1 \times 1 = 1$.

(B) दिया गया है $f(x) = x^{n}$.
अवकलन करने पर, हमें $f^{\prime}(x) = n x^{n-1}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समीकरण $f^{\prime}(\alpha+\beta) = f^{\prime}(\alpha) + f^{\prime}(\beta)$ में रखने पर:
$n(\alpha+\beta)^{n-1} = n\alpha^{n-1} + n\beta^{n-1}$.
यदि $n \neq 0$ है, तो $n$ से विभाजित करने पर:
$(\alpha+\beta)^{n-1} = \alpha^{n-1} + \beta^{n-1}$.
यदि $n=1$ है, तो $(\alpha+\beta)^{0} = \alpha^{0} + \beta^{0} \Rightarrow 1 = 1 + 1$, जो $1 = 2$ है (असत्य)।
यदि $n=2$ है, तो $(\alpha+\beta)^{2-1} = \alpha^{2-1} + \beta^{2-1} \Rightarrow \alpha+\beta = \alpha+\beta$ (सत्य)।
यदि $n=0$ है, तो $f(x) = x^{0} = 1$, इसलिए $f^{\prime}(x) = 0$। अतः $0 = 0 + 0$ (सत्य)।
हालाँकि, दिए गए विकल्पों के अनुसार, $n=2$ इस प्रकार के प्रश्न के लिए मानक समाधान है।

(A) दिया गया है, $y = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \sin x + \log_{e}(1+x)$.
पहले पद के लिए गुणन नियम और दूसरे पद के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \frac{d}{dx}(\sin x) + \sin x \frac{d}{dx}\left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) + \frac{1}{1+x}$.
$\frac{d}{dx}\left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right)$ के लिए भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) = \frac{(3^{x}+1)(3^{x} \ln 3) - (3^{x}-1)(3^{x} \ln 3)}{(3^{x}+1)^{2}} = \frac{2 \cdot 3^{x} \ln 3}{(3^{x}+1)^{2}}$.
इस मान को अवकलन समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}\right) \cos x + \sin x \left(\frac{2 \cdot 3^{x} \ln 3}{(3^{x}+1)^{2}}\right) + \frac{1}{1+x}$.
$x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = \left(\frac{3^{0}-1}{3^{0}+1}\right) \cos(0) + \sin(0) \left(\frac{2 \cdot 3^{0} \ln 3}{(3^{0}+1)^{2}}\right) + \frac{1}{1+0}$.
$= \left(\frac{1-1}{1+1}\right) \cdot 1 + 0 \cdot \left(\frac{2 \ln 3}{4}\right) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

(A) मान लीजिए द्विघात बहुपद $f(x) = ax^2 + bx + c$ है, जहाँ $a \neq 0$ है।
दिया गया है कि $f(1) = f(-1)$, इसलिए $a(1)^2 + b(1) + c = a(-1)^2 + b(-1) + c$, जिसे सरल करने पर $a + b + c = a - b + c$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $2b = 0$, अतः $b = 0$।
इस प्रकार, $f(x) = ax^2 + c$ है।
इसका अवकलज $f^{\prime}(x) = 2ax$ है।
चूंकि $p, q, r$ समांतर श्रेणी में हैं, इसलिए $2q = p + r$ है।
दोनों पक्षों को $2a$ से गुणा करने पर, $2a(2q) = 2a(p + r)$, जिसका अर्थ है $2(2aq) = 2ap + 2ar$।
$f^{\prime}(x) = 2ax$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $2f^{\prime}(q) = f^{\prime}(p) + f^{\prime}(r)$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $f^{\prime}(p), f^{\prime}(q), f^{\prime}(r)$ समांतर श्रेणी में हैं।

(C) सबसे पहले, डिग्री माप को रेडियन में बदलें: $x^{\circ} = \frac{\pi x}{180}$.
हम सर्वसमिका $\cos(30^{\circ} + x^{\circ}) = \sin(90^{\circ} - (30^{\circ} + x^{\circ})) = \sin(60^{\circ} - x^{\circ})$ का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $A = 60^{\circ} - x^{\circ}$। व्यंजक $3 \sin A - 4 \sin^3 A$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $3 \sin A - 4 \sin^3 A = \sin(3A)$ का उपयोग करने पर, हमें $\sin(3(60^{\circ} - x^{\circ})) = \sin(180^{\circ} - 3x^{\circ}) = \sin(3x^{\circ})$ प्राप्त होता है।
अब, इसे रेडियन के संदर्भ में व्यक्त करें: $f(x) = \sin(3 \cdot \frac{\pi x}{180}) = \sin(\frac{\pi x}{60})$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} [\sin(\frac{\pi x}{60})] = \cos(\frac{\pi x}{60}) \cdot \frac{\pi}{60} = \frac{\pi}{60} \cos(3x^{\circ})$।

(B) दिया गया है कि $f''(x) = g''(x)$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें $f'(x) = g'(x) + C_1$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्तों से, $f'(1) = 4$ और $2g'(1) = 4 \implies g'(1) = 2$ है।
इन मानों को अवकलज समीकरण में रखने पर: $4 = 2 + C_1 \implies C_1 = 2$।
अतः, $f'(x) - g'(x) = 2$। पुनः समाकलन करने पर, हमें $f(x) - g(x) = 2x + C_2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $g(2) = 9$ और $3f(2) = 9 \implies f(2) = 3$ है।
समीकरण $f(x) - g(x) = 2x + C_2$ में $x = 2$ रखने पर: $3 - 9 = 2(2) + C_2 \implies -6 = 4 + C_2 \implies C_2 = -10$।
इसलिए, $f(x) - g(x) = 2x - 10$।
$x = 25$ के लिए, $f(25) - g(25) = 2(25) - 10 = 50 - 10 = 40$।

(B) श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = \tan^{-1}(\frac{1}{x^2 + (2k-1)x + (k^2-k+1)})$ है।
हर को $1 + (x+k-1)(x+k)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः, $T_k = \tan^{-1}(\frac{(x+k) - (x+k-1)}{1 + (x+k)(x+k-1)}) = \tan^{-1}(x+k) - \tan^{-1}(x+k-1)$।
योग $y$ एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $y = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(x+k) - \tan^{-1}(x+k-1)) = \tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y' = \frac{1}{1+(x+n)^2} - \frac{1}{1+x^2}$।
$x=0$ पर, $y'(0) = \frac{1}{1+n^2} - \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1+n^2} - 1 = \frac{1 - (1+n^2)}{1+n^2} = -\frac{n^2}{n^2+1}$।

(B) दिया गया है $y = \cot^{-1} \left( \frac{x - \log x}{x^2 \cdot 2 \log x + x \log x} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{x - \log x}{x \log x (2x + 1)} \right)$। यह व्यंजक $y = \cot^{-1} \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{x} \right)$ में सरल हो जाता है।
सर्वसमिका $\cot^{-1} u = \tan^{-1} (1/u)$ का उपयोग करते हुए, $y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} (\log x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) + \frac{d}{dx} (\tan^{-1} (\log x)) = \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + (\log x)^2} \cdot \frac{1}{x}$।
अतः, विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 + \sin 2x}{1 - \sin 2x}}$।
$1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर, $1 + \sin 2x = (\cos x + \sin x)^2$ और $1 - \sin 2x = (\cos x - \sin x)^2$ प्राप्त होता है।
अतः, $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{(\cos x + \sin x)^2}{(\cos x - \sin x)^2}} = \tan^{-1} \left| \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} \right|$।
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर, $y = \tan^{-1} \left| \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} \right| = \tan^{-1} |\tan(\frac{\pi}{4} + x)|$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए, $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12}$, जो प्रथम चतुर्थांश में है, इसलिए $y = \frac{\pi}{4} + x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} + x) = 1$।

(B) दिया है $f(x) = x - 5$, इसलिए $f'(x) = 1$ है।
$g(x) = [f(4h(x) + 3)]^2$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, $g'(x) = 2[f(4h(x) + 3)] \cdot f'(4h(x) + 3) \cdot \frac{d}{dx}(4h(x) + 3)$ है।
$g'(x) = 2[f(4h(x) + 3)] \cdot 1 \cdot 4h'(x) = 8h'(x) \cdot f(4h(x) + 3)$ है।
$x = 1$ पर, $g'(1) = 8h'(1) \cdot f(4h(1) + 3)$ है।
$h(1) = 4$ और $h'(1) = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$g'(1) = 8(-2) \cdot f(4(4) + 3) = -16 \cdot f(19)$ है।
चूँकि $f(x) = x - 5$ है, इसलिए $f(19) = 19 - 5 = 14$ है।
$g'(1) = -16 \cdot 14 = -224$ है।

(C) चरण $1$: दिए गए फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1)^{1/2} = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$।
$g'(x) = \frac{(x^2 + 1)(1) - (x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$।
$h'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 3) = 2$।
चरण $2$: संयोजन $f'(h'(g'(x)))$ का मूल्यांकन कीजिए।
चूँकि $h'(x) = 2$ एक अचर फलन है, इसलिए किसी भी $x$ के लिए $h'(g'(x)) = 2$ होगा।
अतः, $f'(h'(g'(x))) = f'(2)$।
चरण $3$: $f'(x)$ में $x = 2$ प्रतिस्थापित कीजिए।
$f'(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$।

(C) माना $y = \sin \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right) = \sin (\log(x+3) - \log x)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर, $\frac{dy}{dx} = \cos \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right)$ प्राप्त होता है।
अब, $\frac{d}{dx} \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right) = \frac{x}{x+3} \cdot \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)$ है।
$= \frac{x}{x+3} \cdot \left( -\frac{3}{x^2} \right) = -\frac{3}{x(x+3)}$ है।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \cos \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right) \cdot \left( -\frac{3}{x(x+3)} \right) = \frac{-3}{x(x+3)} \cos \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right)$ है।

(C) दिया गया है $y = x \cdot 7^x$।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot 7^x + x \cdot \frac{d}{dx}(7^x)$
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot 7^x + x \cdot (7^x \ln 7)$
$\frac{dy}{dx} = 7^x(1 + x \ln 7)$
$x = 1$ पर:
$\frac{dy}{dx} = 7^1(1 + 1 \cdot \ln 7) = 7(1 + \ln 7)$
चूंकि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$, इसलिए:
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{7(1 + \ln 7)}$
$\ln 7 = \log_e 7$ का उपयोग करने पर, परिणाम $\frac{1}{7(\log 7 + 1)}$ है।