Formation of differential equations Questions in Gujarati

(A) પગલું $1$: રેખાનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
પગલું $2$: $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$ મળે.
પગલું $3$: આનાથી $\frac{dy}{dx} = - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = - \cot \alpha$ મળે છે.
પગલું $4$: $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (- \cot \alpha) = 0$ (કારણ કે $\alpha$ અચળાંક છે).
પગલું $5$: આમ, વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ છે.

(A) પગલું $1$: $(y - a)^2 = 4(x - b)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(y - a) \frac{dy}{dx} = 4$, જેનું સાદું રૂપ $(y - a) \frac{dy}{dx} = 2$ થાય છે.
પગલું $2$: $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dy}{dx} + (y - a) \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
પગલું $3$: પગલું $1$ પરથી, $(y - a) = \frac{2}{dy/dx}$. આ કિંમતને પગલું $2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{dy}{dx})^2 + \frac{2}{dy/dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
પગલું $4$: અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા: $(\frac{dy}{dx})^3 + 2 \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
પગલું $5$: સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે, અને તેની ઘાત $1$ છે. તેથી, ઘાત $1$ છે.

(A) પગલું $1$: રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
પગલું $2$: $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$ મળે છે.
પગલું $3$: આનો અર્થ એ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\cot \alpha$.
પગલું $4$: $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot \alpha) = 0$ (કારણ કે $\alpha$ એક અચળાંક છે).
પગલું $5$: આમ, માંગેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ છે.

(B) $y$-અક્ષ પર ધરી ધરાવતા પરવલયનું વ્યાપક સમીકરણ $y = ax^2 + b$ છે.
અહીં બે સ્વૈચ્છિક અચળાંકો $a$ અને $b$ હોવાથી, આપણે બે વાર વિકલન કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 2ax$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2a$.
પ્રથમ વિકલિત પરથી, $a = \frac{1}{2x} \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમત બીજા વિકલિતમાં મૂકતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 \left( \frac{1}{2x} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{1}{x} \frac{dy}{dx}$.
તેને ગોઠવતા $x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.