Baye's theorem Questions in Gujarati

(A) બેયઝના પ્રમેય મુજબ, સંભાવના $P(B_2|A)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(B_2|A) = \frac{P(B_2) \times P(A|B_2)}{P(B_1) \times P(A|B_1) + P(B_2) \times P(A|B_2) + P(B_3) \times P(A|B_3)}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(B_2|A) = \frac{0.30 \times 0.04}{(0.25 \times 0.05) + (0.30 \times 0.04) + (0.45 \times 0.03)}$
$P(B_2|A) = \frac{0.012}{0.0125 + 0.012 + 0.0135}$
$P(B_2|A) = \frac{0.012}{0.038}$
$P(B_2|A) = \frac{12}{38} = \frac{6}{19}$
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે ટાયર અનુક્રમે $C_1, C_2, C_3$ કંપનીઓ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ ટાયર ખામીયુક્ત છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(E_1) = 0.40, P(E_2) = 0.35, P(E_3) = 0.25$
$P(D|E_1) = 0.02, P(D|E_2) = 0.03, P(D|E_3) = 0.04$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, ખામીયુક્ત ટાયર $C_2$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવ્યું હોવાની સંભાવના $P(E_2|D) = \frac{P(E_2)P(D|E_2)}{P(E_1)P(D|E_1) + P(E_2)P(D|E_2) + P(E_3)P(D|E_3)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.35 \times 0.03}{(0.40 \times 0.02) + (0.35 \times 0.03) + (0.25 \times 0.04)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.0105}{0.008 + 0.0105 + 0.0100} = \frac{0.0105}{0.0285}$
$P(E_2|D) = \frac{105}{285} = \frac{21}{57} = \frac{7}{19}$

(C) ધારો કે $B_1$ અને $B_2$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા બોક્સને પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, તેથી $P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $E$ એ કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $n_1$ અને $n_2$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા બોક્સમાં કાળા દડાની સંખ્યા છે. દરેક બોક્સમાં $10$ દડા હોવાથી, $P(E|B_1) = \frac{n_1}{10}$ અને $P(E|B_2) = \frac{n_2}{10}$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ, જો દડો કાળો હોય તો તે બીજા બોક્સમાંથી હોય તેની સંભાવના:
$P(B_2|E) = \frac{P(B_2)P(E|B_2)}{P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2)} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{n_2}{10}}{\frac{1}{2} \times \frac{n_1}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{n_2}{10}} = \frac{n_2}{n_1 + n_2}$.
આપેલ છે કે $P(B_2|E) = \frac{1}{5}$, તેથી $\frac{n_2}{n_1 + n_2} = \frac{1}{5}$, જેનો અર્થ છે કે $5n_2 = n_1 + n_2$, એટલે કે $n_1 = 4n_2$.
$n_1$ અને $n_2$ એ $0$ થી $10$ ની વચ્ચેના પૂર્ણાંકો હોવાથી, આપણે $n_2$ માટે શક્ય કિંમતો ચકાસીએ:
જો $n_2 = 1$, તો $n_1 = 4$.
જો $n_2 = 2$, તો $n_1 = 8$.
આમ, $n_1$ ની કિંમત $4$ અથવા $8$ હોઈ શકે છે.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3, E_4$ એ ઘટનાઓ છે કે છોકરાએ અનુક્રમે $ABILITY$, $PROBABILITY$, $FACILITY$ અને $MOBILITY$ શબ્દો લખ્યા છે.
તે ચારમાંથી એક શબ્દ પસંદ કરે છે, તેથી $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = P(E_4) = \frac{1}{4}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ભૂંસ્યા પછી '$LI$' બાકી રહે છે.
- $ABILITY$ ($7$ અક્ષરો) માટે, $7-1 = 6$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે. માત્ર એક જોડી '$LI$' છે. તેથી, $P(A|E_1) = \frac{1}{6}$.
- $PROBABILITY$ ($11$ અક્ષરો) માટે, $11-1 = 10$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે. માત્ર એક જોડી '$LI$' છે. તેથી, $P(A|E_2) = \frac{1}{10}$.
- $FACILITY$ ($8$ અક્ષરો) માટે, $8-1 = 7$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે. માત્ર એક જોડી '$LI$' છે. તેથી, $P(A|E_3) = \frac{1}{7}$.
- $MOBILITY$ ($8$ અક્ષરો) માટે, $8-1 = 7$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે. માત્ર એક જોડી '$LI$' છે. તેથી, $P(A|E_4) = \frac{1}{7}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{\sum_{i=1}^{4} P(E_i)P(A|E_i)} = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}}{\frac{1}{4}(\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7})} = \frac{21}{116}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ સામાન્ય સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ બંને બાજુ છાપ વાળો સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$P(E_1) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ અને $P(E_2) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સિક્કો $6$ વાર ઉછાળતા $6$ વાર છાપ મળે છે.
$P(A|E_1) = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
$P(A|E_2) = 1^6 = 1$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, પસંદ કરેલ સિક્કો બંને બાજુ છાપ વાળો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \times P(A|E_2)}{P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2)}$.
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{5} \times 1}{\frac{4}{5} \times \frac{1}{64} + \frac{1}{5} \times 1} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{80} + \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1+16}{80}} = \frac{1}{5} \times \frac{80}{17} = \frac{16}{17}$.

(A) ધારો કે $A_i$ $(i=1, 2, 3, 4)$ એ ઘટના છે કે પાત્રમાં $i+1$ સફેદ દડા છે. ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે બે સફેદ દડા કાઢવામાં આવે છે.
આપણે $P(A_4 | B)$ શોધવાનું છે.
ચાર ઘટનાઓ $A_1, A_2, A_3, A_4$ સમાન રીતે સંભવિત હોવાથી, $P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = P(A_4) = \frac{1}{4}$ છે.
$P(B | A_i)$ એ પાત્રમાં $i+1$ સફેદ દડા હોય ત્યારે બે સફેદ દડા નીકળવાની સંભાવના છે.
$P(B | A_1) = \frac{^2C_2}{^5C_2} = \frac{1}{10}$.
$P(B | A_2) = \frac{^3C_2}{^5C_2} = \frac{3}{10}$.
$P(B | A_3) = \frac{^4C_2}{^5C_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$P(B | A_4) = \frac{^5C_2}{^5C_2} = 1$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(A_4 | B) = \frac{P(A_4) P(B | A_4)}{\sum_{i=1}^4 P(A_i) P(B | A_i)} = \frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{1}{4} \left( \frac{1}{10} + \frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{10}{10} \right)} = \frac{1}{\frac{20}{10}} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી વસ્તુ ખામીયુક્ત છે. ધારો કે $A, B, C$ એ ઘટનાઓ છે કે વસ્તુ અનુક્રમે મશીન $A, B, C$ દ્વારા ઉત્પાદિત કરવામાં આવી હતી.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(A) = \frac{2500}{10000} = 0.25$
$P(B) = \frac{3500}{10000} = 0.35$
$P(C) = \frac{4000}{10000} = 0.40$
ખામીની શરતી સંભાવનાઓ:
$P(E|A) = \frac{2}{100} = 0.02$
$P(E|B) = \frac{3}{100} = 0.03$
$P(E|C) = \frac{5}{100} = 0.05$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, જો વસ્તુ ખામીયુક્ત હોય તો તે મશીન $C$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના:
$P(C|E) = \frac{P(E|C) \cdot P(C)}{P(E|A) \cdot P(A) + P(E|B) \cdot P(B) + P(E|C) \cdot P(C)}$
$P(C|E) = \frac{0.05 \cdot 0.40}{(0.02 \cdot 0.25) + (0.03 \cdot 0.35) + (0.05 \cdot 0.40)}$
$P(C|E) = \frac{0.0200}{0.0050 + 0.0105 + 0.0200} = \frac{0.0200}{0.0355} = \frac{200}{355} = \frac{40}{71}$

(B) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે.
આપેલ છે કે $P(E_1) = 9/10$ અને $P(E_2) = 1 - 9/10 = 1/10$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે જવાબ સાચો છે.
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે, તો સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(E|E_1) = 1$ છે.
જો વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવે છે, તો $4$ વિકલ્પોમાંથી $1$ સાચો હોવાથી, સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(E|E_2) = 1/4$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, જો જવાબ સાચો હોય તો વિદ્યાર્થીએ અનુમાન લગાવ્યું હોય તેની સંભાવના $P(E_2|E) = \frac{P(E|E_2)P(E_2)}{P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_2|E) = \frac{(1/4) \times (1/10)}{(1) \times (9/10) + (1/4) \times (1/10)} = \frac{1/40}{9/10 + 1/40} = \frac{1/40}{(36+1)/40} = \frac{1}{37}$.

(A) ધારો કે $A, B, C, D$ એ ઘટનાઓ છે કે વ્યક્તિ અનુક્રમે કાર, સ્કૂટર, બસ અને ટ્રેન દ્વારા ઓફિસ જાય છે. તેથી $P(A) = 1/7, P(B) = 3/7, P(C) = 2/7, P(D) = 1/7$.
ધારો કે $L$ એ મોડા પહોંચવાની ઘટના છે અને $E$ એ સમયસર પહોંચવાની ઘટના છે. તેથી $P(E|A) = 1 - P(L|A) = 1 - 2/9 = 7/9$. તેવી જ રીતે, $P(E|B) = 1 - 1/9 = 8/9, P(E|C) = 1 - 4/9 = 5/9, P(E|D) = 1 - 1/9 = 8/9$.
આપણે $P(A|E)$ શોધવાનું છે. બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(A|E) = \frac{P(A)P(E|A)}{P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) + P(C)P(E|C) + P(D)P(E|D)}$
$P(A|E) = \frac{(1/7)(7/9)}{(1/7)(7/9) + (3/7)(8/9) + (2/7)(5/9) + (1/7)(8/9)}$
$P(A|E) = \frac{7/63}{7/63 + 24/63 + 10/63 + 8/63} = \frac{7}{7 + 24 + 10 + 8} = \frac{7}{49} = 1/7$.

(C) ધારો કે $S$ એ વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન કરનાર છે તેવી ઘટના છે અને $NS$ એ વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન ન કરનાર છે તેવી ઘટના છે.
ધારો કે $D$ એ ફેફસાના કેન્સરને કારણે મૃત્યુ થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(S) = 0.20$, $P(NS) = 0.80$, અને $P(D) = 0.006$.
પ્રશ્ન મુજબ, $P(D|S) = 10 \times P(D|NS)$, જેનો અર્થ છે કે $P(D|NS) = \frac{1}{10} P(D|S)$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(D) = P(S) \cdot P(D|S) + P(NS) \cdot P(D|NS)$
$0.006 = 0.20 \cdot P(D|S) + 0.80 \cdot \left( \frac{1}{10} P(D|S) \right)$
$0.006 = 0.20 \cdot P(D|S) + 0.08 \cdot P(D|S)$
$0.006 = 0.28 \cdot P(D|S)$
$P(D|S) = \frac{0.006}{0.28} = \frac{6}{280} = \frac{3}{140}$.

(C) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણતો નથી, અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે. ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી પ્રશ્નનો જવાબ સાચો આપે છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(E_2) = p$ અને $P(E_1) = 1 - p$.
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે, તો સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(E|E_2) = 1$ છે.
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણતો નથી, તો તે $5$ વિકલ્પોમાંથી એક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરે છે, તેથી સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(E|E_1) = \frac{1}{5}$ છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવી છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણતો હતો (યાદચ્છિક રીતે પસંદ કર્યો નથી) જ્યારે તેણે જવાબ સાચો આપ્યો હોય, જે $P(E_2|E)$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) P(E|E_2)}{P(E_1) P(E|E_1) + P(E_2) P(E|E_2)}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_2|E) = \frac{p \times 1}{(1 - p) \times \frac{1}{5} + p \times 1}$
$P(E_2|E) = \frac{p}{\frac{1 - p + 5p}{5}}$
$P(E_2|E) = \frac{5p}{1 + 4p}$

(D) ધારો કે $E$ એ છાપ મળવાની ઘટના છે.
ધારો કે $E_{1}$ એ પક્ષપાતી સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_{2}$ એ નિષ્પક્ષ સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
સિક્કો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતો હોવાથી, $P(E_{1}) = \frac{1}{2}$ અને $P(E_{2}) = \frac{1}{2}$.
નિષ્પક્ષ સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(E|E_{2}) = \frac{1}{2}$ છે.
પક્ષપાતી સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(E|E_{1}) = \frac{3}{4}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, છાપ મળે ત્યારે નિષ્પક્ષ સિક્કો પસંદ થયો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_{2}|E) = \frac{P(E_{2}) \cdot P(E|E_{2})}{P(E_{2}) \cdot P(E|E_{2}) + P(E_{1}) \cdot P(E|E_{1})}$
$P(E_{2}|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}}$
$P(E_{2}|E) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{2}{5}$.

(B) ધારો કે $F$ એ નિષ્પક્ષ સિક્કો છે, $T$ એ બે-છાપવાળો સિક્કો છે અને $H$ એ છાપ મળે તે ઘટના છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(F) = \frac{3}{4}$ અને $P(T) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
નિષ્પક્ષ સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(H|F) = \frac{1}{2}$ છે.
બે-છાપવાળા સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(H|T) = 1$ છે.
આપણે બે-છાપવાળો સિક્કો પસંદ થયો હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે, જ્યારે પરિણામ છાપ હોય, એટલે કે $P(T|H)$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(T|H) = \frac{P(H|T) \cdot P(T)}{P(H|T) \cdot P(T) + P(H|F) \cdot P(F)}$
$P(T|H) = \frac{1 \cdot \frac{1}{4}}{1 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}$
$P(T|H) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2+3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$.

(D) ધારો કે $E$ એ $3$ કાળા દડા નીકળવાની ઘટના છે. ધારો કે $H_k$ એ એવી પૂર્વધારણા છે કે થેલીમાં $k$ લાલ અને $(10-k)$ કાળા દડા છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ, $P(H_1 | E) = \frac{P(E | H_1) P(H_1)}{\sum_{k=0}^{7} P(E | H_k) P(H_k)}$.
દરેક રચના $k$ સમાન રીતે સંભવિત છે તેમ ધારતા, $P(H_k) = \frac{1}{11}$.
$P(E | H_k) = \frac{\binom{10-k}{3}}{\binom{10}{3}}$.
$P(H_1 | E) = \frac{\binom{9}{3}}{\sum_{k=0}^{7} \binom{10-k}{3}} = \frac{\binom{9}{3}}{\binom{11}{4}} = \frac{84}{330} = \frac{14}{55}$.

(B) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પાસા પર $6$ આવે છે અને $E'$ એ ઘટના છે કે પાસા પર $6$ આવતો નથી.
$P(E) = 1/6$ અને $P(E') = 5/6$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે માણસ $6$ આવ્યો હોવાનું જણાવે છે.
આપેલ છે કે માણસ $4/5$ વખત સાચું બોલે છે, તેથી જ્યારે $6$ આવે ત્યારે $6$ હોવાનું જણાવવાની સંભાવના $P(A|E) = 4/5$ છે.
જ્યારે $6$ ન આવે ત્યારે $6$ હોવાનું જણાવવાની સંભાવના (એટલે કે તે જૂઠું બોલે છે) $P(A|E') = 1 - 4/5 = 1/5$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, જ્યારે તેણે $6$ હોવાનું જણાવ્યું હોય ત્યારે વાસ્તવમાં $6$ હોવાની સંભાવના:
$P(E|A) = \frac{P(A|E)P(E)}{P(A|E)P(E) + P(A|E')P(E')}$
$P(E|A) = \frac{(4/5) \times (1/6)}{(4/5) \times (1/6) + (1/5) \times (5/6)}$
$P(E|A) = \frac{4/30}{4/30 + 5/30} = \frac{4/30}{9/30} = 4/9$.

(B) ધારો કે $K$ એ ઘટના છે કે પત્ર $KANPUR$ થી આવ્યો છે અને $A$ એ ઘટના છે કે પત્ર $ANANTPUR$ થી આવ્યો છે.
$KANPUR$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે, જે $5$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી આપે છે: $(KA, AN, NP, PU, UR)$. આમાંથી, $1$ જોડી $AN$ છે. તેથી, $P(AN|K) = 1/5$.
$ANANTPUR$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે, જે $7$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી આપે છે: $(AN, NA, AN, NT, TP, PU, UR)$. આમાંથી, $2$ જોડી $AN$ છે. તેથી, $P(AN|A) = 2/7$.
ધારી લઈએ કે પૂર્વ સંભાવનાઓ સમાન છે, $P(K) = P(A) = 1/2$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, $AN$ દેખાય છે તે જોતા પત્ર $ANANTPUR$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(A|AN) = \frac{P(AN|A)P(A)}{P(AN|A)P(A) + P(AN|K)P(K)}$
$P(A|AN) = \frac{(2/7) \times (1/2)}{(2/7) \times (1/2) + (1/5) \times (1/2)}$
$P(A|AN) = \frac{2/7}{2/7 + 1/5} = \frac{2/7}{17/35} = \frac{2}{7} \times \frac{35}{17} = \frac{10}{17}$.

(B) કુલ સિક્કાઓની સંખ્યા = $N+1$.
સામાન્ય સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{N}{N+1}$.
બે છાપવાળો સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{1}{N+1}$.
'છાપ' મળવાની સંભાવના = $P(H|Fair) \cdot P(Fair) + P(H|TwoHead) \cdot P(TwoHead)$.
સામાન્ય સિક્કા માટે 'છાપ' મળવાની સંભાવના $1/2$ છે અને બે છાપવાળા સિક્કા માટે 'છાપ' મળવાની સંભાવના $1$ છે, તેથી:
$P(H) = \frac{1}{2} \cdot \frac{N}{N+1} + 1 \cdot \frac{1}{N+1} = \frac{N}{2(N+1)} + \frac{2}{2(N+1)} = \frac{N+2}{2(N+1)}$.
આપેલ છે કે $P(H) = \frac{9}{16}$, તેથી સમીકરણ:
$\frac{N+2}{2(N+1)} = \frac{9}{16}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $16(N+2) = 18(N+1)$.
$16N + 32 = 18N + 18$.
$32 - 18 = 18N - 16N$.
$14 = 2N$.
$N = 7$.

(C) ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિને રોગ છે અને $T$ એ ઘટના છે કે પરીક્ષણ સકારાત્મક છે.
આપેલ છે: $P(D) = 0.01$, $P(D^c) = 0.99$।
સંવેદનશીલતા $P(T|D) = 0.98$।
વિશિષ્ટતા $P(T^c|D^c) = 0.95$, તેથી $P(T|D^c) = 1 - 0.95 = 0.05$।
બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, $P(D|T) = \frac{P(T|D)P(D)}{P(T|D)P(D) + P(T|D^c)P(D^c)}$।
$P(D|T) = \frac{0.98 \times 0.01}{(0.98 \times 0.01) + (0.05 \times 0.99)}$।
$P(D|T) = \frac{0.0098}{0.0098 + 0.0495} = \frac{0.0098}{0.0593} \approx 0.16526$।
આમ, સંભાવના આશરે $16.5\%$ છે।

(A) આપેલ છે કે $E_1$ અને $E_2$ સમાન રીતે સંભવિત, પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે, તેથી $P(E_1) = P(E_2) = 0.5$ થાય.
બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, $P(E_1|A) = \frac{P(A|E_1)P(E_1)}{P(A|E_1)P(E_1) + P(A|E_2)P(E_2)}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(E_1|A) = \frac{0.2 \times 0.5}{(0.2 \times 0.5) + (0.3 \times 0.5)}$.
$P(E_1|A) = \frac{0.1}{0.1 + 0.15} = \frac{0.1}{0.25}$.
$P(E_1|A) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.

(B) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $5x$ છે અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા $4x$ છે. કુલ વસ્તી $= 9x$ છે.
સાક્ષર પુરુષો $= 5x$ ના $80\% = 0.8 \times 5x = 4x$। નિરક્ષર પુરુષો $= 5x - 4x = x$।
સાક્ષર સ્ત્રીઓ $= 4x$ ના $90\% = 0.9 \times 4x = 3.6x$। નિરક્ષર સ્ત્રીઓ $= 4x - 3.6x = 0.4x$।
કુલ નિરક્ષર વ્યક્તિઓ $= x + 0.4x = 1.4x$।
નિરક્ષર વ્યક્તિ પુરુષ હોવાની સંભાવના $P = \frac{\text{નિરક્ષર પુરુષો}}{\text{કુલ નિરક્ષર વ્યક્તિઓ}} = \frac{x}{1.4x} = \frac{1}{1.4} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ છે.

(B) ધારો કે $K$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે અને $G$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે.
ધારો કે $C$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થીને સાચો જવાબ મળે છે.
આપેલ છે: $P(K) = 0.9$, $P(G) = 1 - 0.9 = 0.1$।
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે, તો સાચો જવાબ મળવાની સંભાવના $P(C|K) = 1$ છે.
જો વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવે છે, તો સાચો જવાબ મળવાની સંભાવના $P(C|G) = \frac{1}{4} = 0.25$ છે.
બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, વિદ્યાર્થીએ અનુમાન લગાવ્યું હતું તેની સંભાવના, જ્યારે તેને સાચો જવાબ મળ્યો છે, તે $P(G|C) = \frac{P(C|G)P(G)}{P(C|G)P(G) + P(C|K)P(K)}$ છે.
$P(G|C) = \frac{0.25 \times 0.1}{(0.25 \times 0.1) + (1 \times 0.9)} = \frac{0.025}{0.025 + 0.9} = \frac{0.025}{0.925} = \frac{25}{925} = \frac{1}{37}$।

(C) ધારો કે $W_A$ એ થેલી $A$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે અને $B_A$ એ થેલી $A$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
$P(W_A) = \frac{3}{8}$ અને $P(B_A) = \frac{5}{8}$.
જો સફેદ દડો સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો થેલી $B$ માં હવે $5$ સફેદ અને $3$ કાળા દડા (કુલ $8$) છે. $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W|W_A) = \frac{5}{8}$ છે.
જો કાળો દડો સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો થેલી $B$ માં હવે $4$ સફેદ અને $4$ કાળા દડા (કુલ $8$) છે. $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W|B_A) = \frac{4}{8}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(W) = P(W_A) \cdot P(W|W_A) + P(B_A) \cdot P(W|B_A)$
$P(W) = (\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8}) + (\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{8}) = \frac{15}{64} + \frac{20}{64} = \frac{35}{64}$.

(C) બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A|L) = \frac{P(L|A)P(A)}{P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B) + P(L|C)P(C) + P(L|D)P(D)}$।
આપેલ છે કે $P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/4$, તેથી $1/4$ પદ ઉડી જશે:
$P(A|L) = \frac{P(L|A)}{P(L|A) + P(L|B) + P(L|C) + P(L|D)}$।
આપેલ સંભાવનાઓ મૂકતા: $P(A|L) = \frac{0.24}{0.24 + 0.09 + 0.17 + 0.22}$।
$P(A|L) = \frac{0.24}{0.72} = \frac{1}{3}$।