Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(B) दिया गया है $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$, जिसे हम $(\vec{r} - \vec{c}) \times \vec{b} = 0$ लिख सकते हैं। इसका अर्थ है $\vec{r} - \vec{c} = t\vec{b}$ किसी अदिश $t$ के लिए, अतः $\vec{r} = \vec{c} + t\vec{b}$।
$\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$ में $\vec{r}$ का मान रखने पर, $(\vec{c} + t\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$, जिसका अर्थ है $\vec{c} \cdot \vec{a} + t(\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$।
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (4)(2) + (-3)(0) + (7)(1) = 8 + 0 + 7 = 15$ की गणना करें।
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(2) + (1)(0) + (1)(1) = 2 + 0 + 1 = 3$ की गणना करें।
अतः, $15 + 3t = 0$, जिससे $t = -5$ प्राप्त होता है।
अब, $\vec{r} = \vec{c} - 5\vec{b} = (4\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}) - 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$।
अंत में, $\vec{r} \cdot \vec{c} = (-1)(4) + (-8)(-3) + (2)(7) = -4 + 24 + 14 = 34$।

(A) चरण $1$: चूँकि रेखाएँ $(2, 4, -4)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं, बिंदु को दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।
चरण $2$: पहली रेखा के लिए, $\vec{a} + \lambda\vec{b} = (2, 4, -4)$। दूसरी रेखा के लिए, $\vec{b} + \mu\vec{a} = (2, 4, -4)$।
चरण $3$: दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\vec{a} - \vec{b}) + (\lambda\vec{b} - \mu\vec{a}) = 0$। इसका अर्थ है $\vec{a}(1 - \mu) = \vec{b}(1 - \lambda)$।
चरण $4$: चूँकि रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, $\vec{a} + \lambda\vec{b} = \vec{b} + \mu\vec{a} \implies \vec{a}(1 - \mu) = \vec{b}(1 - \lambda)$। यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख नहीं हैं, तो $1-\mu = 0$ और $1-\lambda = 0$, अतः $\lambda = 1$ और $\mu = 1$।
चरण $5$: पहले समीकरण में $\lambda = 1$ रखने पर: $\vec{a} + \vec{b} = (2, 4, -4)$।
चरण $6$: हमें $|\vec{a} - \vec{b}| = 4$ दिया गया है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 16$।
चरण $7$: $\vec{a} + \vec{b} = (2, 4, -4)$ से, $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2^2 + 4^2 + (-4)^2 = 4 + 16 + 16 = 36$। अतः $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 36$।
चरण $8$: दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}) - (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) = 36 - 16 \implies 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 20 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 5$।

(D) दिया है $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\vec{u} \pm \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 \pm 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ का उपयोग करने पर, $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$ हो जाता है, जिसका अर्थ है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + 2\hat{k}) = 0$।
$2\alpha + 2\beta - 2 = 0$।
$2$ से भाग देने पर, $\alpha + \beta - 1 = 0$ प्राप्त होता है, अतः $\alpha + \beta = 1$।

(B) दो सदिश लंबकोणीय होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो, अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
दिया है $\vec{a} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2)(1) + (\lambda)(2) + (1)(3) = 0$।
$2 + 2\lambda + 3 = 0$।
$2\lambda + 5 = 0$।
$2\lambda = -5$।
$\lambda = -\frac{5}{2}$।

(B) चरण $1$: सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ ज्ञात कीजिए।
$\vec{AB} = (4-2)\hat{i} + (a-4)\hat{j} + (9-3)\hat{k} = 2\hat{i} + (a-4)\hat{j} + 6\hat{k}$।
$\vec{BC} = (10-4)\hat{i} + (-1-a)\hat{j} + (7-9)\hat{k} = 6\hat{i} - (1+a)\hat{j} - 2\hat{k}$।
चरण $2$: चूँकि $\angle B = 90^\circ$ है, इसलिए अदिश गुणनफल $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$ होगा।
चरण $3$: अदिश गुणनफल की गणना कीजिए: $2(6) + (a-4)(-(1+a)) + 6(-2) = 0$।
चरण $4$: समीकरण को सरल कीजिए: $12 - (a-4)(a+1) - 12 = 0$।
चरण $5$: $a$ के लिए हल कीजिए: $-(a-4)(a+1) = 0$, जिससे $(a-4)(a+1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, $a = 4$ या $a = -1$।