Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Gujarati

(C) જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થ મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું ધ્રુવીભવન થાય છે. ડાયઇલેક્ટ્રિકની અંદર ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્લેટો દ્વારા લાગુ પાડવામાં આવેલા બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે. પરિણામે, પ્લેટો વચ્ચેનું ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઘટે છે. પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે $V = E \cdot d$ (જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે) દ્વારા સંબંધિત હોવાથી, વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઘટાડો થવાથી પ્લેટો વચ્ચેના અસરકારક પોટેન્શિયલ તફાવતમાં ઘટાડો થાય છે. $C = Q/V$ હોવાથી, અચળ વિદ્યુતભાર $Q$ માટે $V$ માં ઘટાડો થવાથી કેપેસિટન્સ $C$ માં વધારો થાય છે.

(D) હવાનું માધ્યમ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $t = \frac{d}{2}$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C'$ સૂત્ર $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં $t = \frac{d}{2}$ કિંમત મૂકતા:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d}{2K}}$
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2} + \frac{d}{2K}}$
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2} (1 + \frac{1}{K})}$
$C' = \frac{2 \epsilon_0 A}{d (\frac{K + 1}{K})}$
$C' = \frac{2 \epsilon_0 A}{d} \cdot \frac{K}{K + 1}$
કારણ કે $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$, તેથી $C$ ની કિંમત મૂકતા:
$C' = \frac{2KC}{K + 1}$.

(A) ડાયઇલેક્ટ્રિક વગરના સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $t = (4/5)d$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C$ સૂત્ર $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + (t/K)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $t = (4/5)d$ મૂકતા:
$C = \frac{\epsilon_0 A}{d - (4/5)d + ((4/5)d/K)}$
$C = \frac{\epsilon_0 A}{(1/5)d + (4d/5K)}$
$C = \frac{\epsilon_0 A}{(d/5) [1 + (4/K)]} = \frac{\epsilon_0 A}{(d/5) [(K + 4)/K]}$
$C = \frac{5K \epsilon_0 A}{d(K + 4)}$
કારણ કે $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$, તેથી $C = C_0 \cdot \frac{5K}{K + 4}$ મળે છે.
આમ, ગુણોત્તર $(C/C_0) = \frac{5K}{K + 4}$ થાય છે.

(B) હવા ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું મૂળ કેપેસીટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $C' = \frac{1}{3} C_0$, તેથી $\frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{1}{3} \frac{\epsilon_0 A}{d}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $3d = d - t + \frac{t}{K}$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા, $2d + t = \frac{t}{K}$ મળે છે.
આમ, $K = \frac{t}{2d + t}$.

(D) જ્યારે બેટરી સાથે જોડાયેલ ન હોય તેવા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$1$. નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
$2$. $Q$ અચળ હોવાથી, નવું પોટેન્શિયલ $V' = Q / C' = Q / (KC) = V / K$ થાય છે. $K > 1$ હોવાથી, પોટેન્શિયલ $V$ ઘટે છે.
$3$. નવી ઉર્જા $E' = Q^2 / (2C') = Q^2 / (2KC) = E / K$ થાય છે. $K > 1$ હોવાથી, ઉર્જા $E$ પણ ઘટે છે.
તેથી, $V$ અને $E$ બંને ઘટે છે.

(A) ધારો કે દરેક સમાન એર કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
શરૂઆતમાં, બંને $V$ e.m.f. ધરાવતી બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C/2$ છે.
જ્યારે એક કેપેસિટરને $K$ અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિકમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}' = \frac{C \cdot KC}{C + KC} = \frac{KC}{K + 1}$ થાય છે.
બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq}' V = \frac{KCV}{K + 1}$ છે.
કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી, બંનેમાંથી સમાન વિદ્યુતભાર $Q$ વહે છે.
એર કેપેસિટર (જેમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક નથી) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{Q}{C} = \frac{KCV}{C(K + 1)} = \frac{KV}{K + 1}$ થશે.

(A) $1$. શરૂઆતમાં, $2C$ અને $C$ કેપેસિટર સમાંતર જોડાયેલા છે અને $V$ સ્થિતિમાનની બેટરી સાથે જોડાયેલા છે. સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q = (2C + C)V = 3CV$ છે.
$2$. જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 3CV$ અચળ રહે છે.
$3$. કેપેસિટર $C$ માં $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક ભર્યા પછી, તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે. $2C$ કેપેસિટર બદલાતું નથી.
$4$. કેપેસિટર હજુ પણ સમાંતરમાં છે, તેથી તેઓ સમાન સ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ ધરાવે છે.
$5$. નવું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = 2C + KC = C(K + 2)$ છે.
$6$. $Q = C_{eq}V'$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા, આપણને $3CV = C(K + 2)V'$ મળે છે.
$7$. $V'$ માટે ઉકેલતા, $V' = \frac{3CV}{C(K + 2)} = \frac{3V}{(K + 2)}$ મળે છે.

(A) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 15 \text{ pF}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર બમણું $(d' = 2d)$ કરવામાં આવે અને $K = 3.5$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ ઉમેરવામાં આવે, ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = \frac{K \epsilon_0 A}{d'}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા, $C' = \frac{3.5 \times \epsilon_0 A}{2d} = \frac{3.5}{2} \times C_0$.
$C' = 1.75 \times 15 \text{ pF} = 26.25 \text{ pF}$.
આપેલ છે કે $C' = x/4 \text{ pF}$, તેથી $26.25 = x/4$.
આમ, $x = 26.25 \times 4 = 105$.