Equivalent Capacitance of Capacitor connected in Series and Parallel Questions in Gujarati

(D) શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસિટર્સ માટે, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2+1+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \mu F^{-1}$
તેથી, $C_{eq} = 1.5 \mu F$.
પરિપથમાં વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $q$:
$q = C_{eq} \times V = 1.5 \mu F \times 120 V = 180 \mu C$.
શ્રેણી જોડાણમાં, દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે. તેથી, $3 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = 180 \mu C$ છે.
$3 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1$:
$V_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{180 \mu C}{3 \mu F} = 60 V$.

(D) ધારો કે કેપેસિટર $C$ ($X$ અને $Y$ વચ્ચે જોડાયેલ) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{XY} = 60 \ V$ છે.
પરિપથમાં એક કેપેસિટર $C$ અને તેની સમાંતર શ્રેણીમાં જોડાયેલા $2C$, $C$, અને $2C$ કેપેસિટર્સ છે.
કેપેસિટર્સ $2C$, $C$, અને $2C$ શ્રેણીમાં હોવાથી, તેમાંથી સમાન વિદ્યુતભાર $q$ વહે છે.
શ્રેણી શાખા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{XY} = 60 \ V$ છે.
શ્રેણી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{1+2+1}{2C} = \frac{4}{2C} = \frac{2}{C}$
તેથી, $C_{eq} = \frac{C}{2}$.
શ્રેણી શાખામાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે:
$q = C_{eq} \times V_{XY} = \frac{C}{2} \times 60 \ V = 30C$.
બિંદુઓ $M$ અને $N$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ તેમની વચ્ચે આવેલા કેપેસિટર $C$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
$V_{MN} = \frac{q}{C} = \frac{30C}{C} = 30 \ V$.

(D) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 3 \mu F$ છે.
પરિપથને જોતા, આપણે કેપેસિટર્સની ગોઠવણી સમજી શકીએ છીએ.
મધ્યની શાખામાં બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C + C = 2C = 2 \times 3 = 6 \mu F$ થશે.
આ સંયોજન તે જ શાખામાં રહેલા અન્ય કેપેસિટર $C$ સાથે શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = \frac{C \times C_p}{C + C_p} = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2}{3}C = \frac{2}{3} \times 3 = 2 \mu F$ થશે.
અંતે, આ શાખા ઉપરના કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતરમાં છે. તેથી $A$ અને $B$ વચ્ચેનું કુલ અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + C_s = 3 + 2 = 5 \mu F$ થશે.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C$ છે.
જ્યારે $4$ કેપેસીટરોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ એ $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{4}{C}$ દ્વારા મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $C_1 = \frac{C}{4}$.
જ્યારે $4$ કેપેસીટરોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2$ એ $C_2 = C + C + C + C = 4C$ દ્વારા મળે છે.
હવે, ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_2}$ ની ગણતરી $\frac{C/4}{4C} = \frac{1}{16}$ તરીકે કરવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A$ અને $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેના નોડને $C_2$ અને $C_3$ વચ્ચેના નોડ સાથે જોડતો વાયર $C_2$ ને શોર્ટ-સર્કિટ કરે છે.
આમ, પરિપથ $C_1$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં અને આ સંયોજન $C_4$ સાથે સમાંતરમાં હોય તે રીતે સરળ બને છે.
$C_{13} = \frac{C_1 C_3}{C_1 + C_3} = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5\text{ }\mu\text{F}$.
હવે, $C_{13}$ એ $C_4$ સાથે સમાંતરમાં છે, તેથી $C_{eq} = C_{13} + C_4 = 0.5 + 2 = 2.5 = 5/2\text{ }\mu\text{F}$.

(B) જ્યારે કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તેથી $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ થાય.
સંયોજનમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} V = \left( \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \right) V$ છે.
કેપેસિટર $C_2$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = \frac{Q}{C_2}$ છે.
$Q$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $V_2 = \frac{1}{C_2} \left( \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \right) V = \frac{C_1 V}{C_1 + C_2}$ મળે છે.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી, કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
ધારો કે સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C_1 + C_2$ છે.
હવે, પરિપથમાં $C_p$ અને $C_3$ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $V$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
શ્રેણી પરિપથમાં, વોલ્ટેજ કેપેસિટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં વહેંચાય છે.
કેપેસિટર માટે વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ $C_3$ પરનો વોલ્ટેજ:
$V_3 = V \times \frac{C_p}{C_p + C_3}$
સમીકરણમાં $C_p = C_1 + C_2$ મૂકતા:
$V_3 = V \times \frac{C_1 + C_2}{C_1 + C_2 + C_3}$
આમ, $C_3$ પરનો વોલ્ટેજ $\frac{(C_1 + C_2)V}{(C_1 + C_2 + C_3)}$ થશે.

(C) આકૃતિ પરથી, ત્રણ કેપેસિટરો $2C$, $3C$, અને $4C$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
ધારો કે આ સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p$ છે.
$C_p = 2C + 3C + 4C = 9C$ થાય.
હવે, આ સંયોજન $C_p$, બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે કેપેસિટ $C^1$ સાથે શ્રેણી જોડાણમાં છે.
શ્રેણી જોડાણમાં બે કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C^1}$ છે.
અહીં $C_{eq} = 6C$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{1}{6C} = \frac{1}{9C} + \frac{1}{C^1}$.
$\frac{1}{C^1} = \frac{1}{6C} - \frac{1}{9C}$.
$\frac{1}{C^1} = \frac{3 - 2}{18C} = \frac{1}{18C}$.
તેથી, $C^1 = 18C$ મળે.

(B) ધારો કે સર્કિટ ડાયાગ્રામના આધારે નોડ્સ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. સર્કિટમાં $3C, 3C, 2C, 1C, 2C$ મૂલ્યના પાંચ કેપેસિટર્સ છે.
સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરીને, આપણે તેને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
$1$. $3C$ કેપેસિટર (ઉપર ડાબી બાજુ) અને $3C$ કેપેસિટર (વર્ટિકલ) શ્રેણીમાં છે, જે $C_{eq1} = (3C \times 3C) / (3C + 3C) = 1.5C$ આપે છે.
$2$. $1C$ અને $2C$ કેપેસિટર્સ (જમણી બાજુ) શ્રેણીમાં છે, જે $C_{eq2} = (1C \times 2C) / (1C + 2C) = (2/3)C$ આપે છે.
$3$. આ બંને શાખાઓ મધ્યના $2C$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
$4$. કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = 1.5C + (2/3)C + 2C = 6C$ છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U = (1/2) C_{eq} V^2 = (1/2) (6C) V^2 = 3CV^2$ છે.
આમ, સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $6C$ છે અને ઉર્જા $3CV^2$ છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A'}{d'}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A'$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $d'$ એ અંતર છે.
દરેક કેપેસિટરનું ક્ષેત્રફળ $A' = A/3$ આપેલ છે.
ત્રણ કેપેસિટરના કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ છે:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{3d}$
$C_2 = \frac{\epsilon_0 (A/3)}{2d} = \frac{\epsilon_0 A}{6d}$
$C_3 = \frac{\epsilon_0 (A/3)}{3d} = \frac{\epsilon_0 A}{9d}$
તેઓ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સનો સરવાળો થશે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{3d} + \frac{\epsilon_0 A}{6d} + \frac{\epsilon_0 A}{9d}$
છેદમાં $18d$ સામાન્ય લેતા:
$C_{eq} = \frac{6\epsilon_0 A + 3\epsilon_0 A + 2\epsilon_0 A}{18d} = \frac{11\epsilon_0 A}{18d}$.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કેપેસિટર માટે, ક્ષેત્રફળ $A_1 = A/2$ અને અંતર $d_1 = d$ છે. તેથી, $C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{2d}$.
બીજા કેપેસિટર માટે, ક્ષેત્રફળ $A_2 = A/2$ અને અંતર $d_2 = 2d$ છે. તેથી, $C_2 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{2d} = \frac{\epsilon_0 A}{4d}$.
કેપેસિટરો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી, સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2$ થશે.
$C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{2d} + \frac{\epsilon_0 A}{4d} = \frac{2\epsilon_0 A + \epsilon_0 A}{4d} = \frac{3\epsilon_0 A}{4d}$.

(C) $1$. પરિપથમાં $4 \mu\text{F}$ નું કેપેસિટર, $9 \mu\text{F}$ અને $3 \mu\text{F}$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
$2$. સમાંતર ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 9 \mu\text{F} + 3 \mu\text{F} = 12 \mu\text{F}$ છે.
$3$. પરિપથનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ આ મુજબ છે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4 \mu\text{F}} + \frac{1}{12 \mu\text{F}} = \frac{3+1}{12 \mu\text{F}} = \frac{4}{12 \mu\text{F}} = \frac{1}{3 \mu\text{F}}$। તેથી $C_{eq} = 3 \mu\text{F}$.
$4$. $12 \text{ V}$ ની બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = 3 \mu\text{F} \times 12 \text{ V} = 36 \mu\text{C}$ છે.
$5$. આ વિદ્યુતભાર $Q$, $4 \mu\text{F}$ કેપેસિટરમાંથી વહે છે. $4 \mu\text{F}$ કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{36 \mu\text{C}}{4 \mu\text{F}} = 9 \text{ V}$ છે.