Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Hindi

(A) माना प्रारंभिक दूरी $r_i = 4R$ है और अंतिम दूरी जब वे बस स्पर्श करते हैं, $r_f = 2R$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, कुल प्रारंभिक ऊर्जा = कुल अंतिम ऊर्जा।
प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = 2 \times (\frac{1}{2} m u^2) - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R} = m u^2 - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R}$.
अंतिम ऊर्जा (स्पर्श करते समय, गति शून्य है): $E_f = 0 - \frac{G m^2}{2R} + \frac{k Q^2}{2R}$.
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$m u^2 - \frac{G m^2}{4R} + \frac{k Q^2}{4R} = - \frac{G m^2}{2R} + \frac{k Q^2}{2R}$.
$m u^2 = \frac{k Q^2}{4R} - \frac{G m^2}{4R} = \frac{1}{4R} (k Q^2 - G m^2)$.
$u = \sqrt{\frac{k Q^2}{4 m R} (1 - \frac{G m^2}{k Q^2})}$.

(A) बैटरी से जुड़े संधारित्र की स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ होती है।
यहाँ $C = \frac{\epsilon_0 A}{x}$, इसलिए $U = \frac{1}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{x} \right) V^2$ होगा।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है, इसलिए विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
अतः, $U \propto \frac{1}{x} = x^{-1}$ होगा।
ऊर्जा के परिवर्तन की समय दर $\frac{dU}{dt} = \frac{dU}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ है।
दिया गया है कि प्लेटों को $v$ की एकसमान गति से दूर खींचा जा रहा है, इसलिए $\frac{dx}{dt} = v$ (एक स्थिरांक)।
अब, $U$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-1} \right) = -\frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, $\frac{dU}{dt} = \left( -\frac{\epsilon_0 A V^2}{2} \cdot x^{-2} \right) \cdot v$ होगा।
चूंकि $\epsilon_0, A, V,$ और $v$ स्थिरांक हैं, इसलिए $\frac{dU}{dt} \propto x^{-2}$ प्राप्त होता है।
इसे $x^\alpha$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\alpha = -2$ प्राप्त होता है।

(B) अभिकथन $A$ सही है: गॉस के नियम के अनुसार, स्थिर वैद्युत संतुलन में एक चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है, जिसका अर्थ है कि चालक के अंदर नेट आवेश घनत्व शून्य होता है।
कारण $R$ भी सही है: यदि किसी मुक्त आवेश वाहक को संधारित्र की प्लेटों के बीच (निर्वात या हवा में) रखा जाता है, तो वह $F = qE$ बल का अनुभव करता है और अपवाह (drift) करता है।
हालाँकि, एक चालक के अंदर नेट आवेश न होने का कारण सतह पर आवेशों का पुनर्वितरण है जो आंतरिक क्षेत्र को रद्द कर देता है, जो संधारित्र प्लेटों के बीच आवेशों के व्यवहार से स्वतंत्र है। इसलिए, $R$, $A$ की सही व्याख्या नहीं है।

(D) यह परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन सेतु है क्योंकि $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_4}{C_3} = \frac{10}{10} = 1$ है।
चूंकि सेतु संतुलित है, इसलिए केंद्रीय संधारित्र $C_5$ से कोई आवेश प्रवाहित नहीं होता है।
अतः, परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है, जिनमें से प्रत्येक में दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं।
बाईं शाखा में $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं, और दाईं शाखा में $C_4$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं।
प्रत्येक शाखा की तुल्य धारिता: $C_{\text{branch}} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \mu F$.
कुल तुल्य धारिता: $C_{\text{eq}} = 5 \mu F + 5 \mu F = 10 \mu F$.
बैटरी द्वारा आपूर्ति किया गया कुल आवेश: $Q = C_{\text{eq}}V = 10 \mu F \times 50 \ V = 500 \mu C$.
चूंकि शाखाएं समान हैं, इसलिए आवेश समान रूप से विभाजित होता है: प्रत्येक शाखा से $250 \mu C$ आवेश प्रवाहित होता है।
इस प्रकार, प्रत्येक संधारित्र $C_1, C_2, C_3, C_4$ पर $250 \mu C$ और $C_5$ पर $0 \mu C$ आवेश होता है।

(D) $1$. संधारित्र $P$ और $Q$ श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{PQ}$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{C_{PQ}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$, इसलिए $C_{PQ} = \frac{C}{2}$।
$2$. $P$ और $Q$ के श्रेणी संयोजन के सिरों पर वोल्टेज $V$ है। चूंकि $P$ और $Q$ समान हैं, प्रत्येक के सिरों पर वोल्टेज $\frac{V}{2}$ है।
$3$. संधारित्र $P$ में संचित ऊर्जा $U_P = \frac{1}{2} C (\frac{V}{2})^2 = \frac{1}{2} C \frac{V^2}{4} = \frac{CV^2}{8}$ है।
$4$. संधारित्र $S$, $P$ और $Q$ के संयोजन के साथ समांतर क्रम में है। $S$ के सिरों पर वोल्टेज $V$ है। $S$ में संचित ऊर्जा $U_S = \frac{1}{2} CV^2$ है।
$5$. निकाय में संचित कुल ऊर्जा $U_T = U_P + U_Q + U_S$ है। चूंकि $P$ और $Q$ समान हैं, $U_Q = U_P = \frac{CV^2}{8}$।
$6$. अतः, $U_T = \frac{CV^2}{8} + \frac{CV^2}{8} + \frac{1}{2} CV^2 = \frac{CV^2}{4} + \frac{2CV^2}{4} = \frac{3CV^2}{4}$।
$7$. अनुपात $\frac{U_P}{U_T} = \frac{CV^2/8}{3CV^2/4} = \frac{1}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{6}$ है।

(D) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक छोटी बूंद पर आवेश $q$ है।
छोटी बूंद का विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $n$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है।
अतः, $n \times (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$, जिसका अर्थ है $R^3 = nr^3$ या $R = n^{1/3}r$।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V_{big} = \frac{kQ}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$Q$ और $R$ के मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $V_{big} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{1 - 1/3} \times \frac{kq}{r} = n^{2/3}V$।

(C) $1$. प्रारंभ में, $C$ धारिता वाले $n$ संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है। प्रत्येक पर विभवांतर $V$ है। प्रत्येक संधारित्र पर कुल आवेश $q = CV$ है। समानांतर संयोजन में संचित कुल ऊर्जा $U_p = n \times (\frac{1}{2}CV^2) = \frac{n}{2}CV^2$ है।
$2$. जब उन्हें अलग करके श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है, तो प्रत्येक संधारित्र पर $q = CV$ आवेश बना रहता है।
$3$. श्रेणी संयोजन में कुल विभवांतर $V_{total} = V_1 + V_2 + ... + V_n = nV$ होता है।
$4$. श्रेणी संयोजन में संचित कुल ऊर्जा $U_s = n \times (\frac{q^2}{2C}) = n \times (\frac{(CV)^2}{2C}) = n \times (\frac{1}{2}CV^2) = \frac{n}{2}CV^2$ है।
$5$. इस प्रकार, विभवांतर $nV$ हो जाता है और कुल ऊर्जा समान रहती है।

(C) $1$. दिए गए परिपथ में, संधारित्र $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं, और $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं। ये दोनों शाखाएं एक-दूसरे के समानांतर हैं।
$2$. पहली शाखा की तुल्य धारिता $(C_1, C_2)$: $1/C_{12} = 1/C_1 + 1/C_2 = 1/1 + 1/2 = 3/2 \implies C_{12} = 2/3 \mu F$.
$3$. दूसरी शाखा की तुल्य धारिता $(C_3, C_4)$: $1/C_{34} = 1/C_3 + 1/C_4 = 1/3 + 1/4 = 7/12 \implies C_{34} = 12/7 \mu F$.
$4$. $C_2$ पर आवेश $(Q_2)$: चूंकि $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए उन पर समान आवेश $Q_{12} = C_{12} \times V$ होगा।
$5$. $C_4$ पर आवेश $(Q_4)$: चूंकि $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए उन पर समान आवेश $Q_{34} = C_{34} \times V$ होगा।
$6$. अनुपात $Q_2/Q_4$ की गणना करने पर सही उत्तर $2/9$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक समान संधारित्र की धारिता $C$ है।
श्रेणी क्रम में तीन संधारित्रों के लिए, तुल्य धारिता $C_s = C/3$ है।
श्रेणी संयोजन में संचित ऊर्जा $U_s = (1/2) C_s V_s^2 = (1/2) (C/3) V_s^2 = (C V_s^2) / 6$ है।
समांतर क्रम में तीन संधारित्रों के लिए, तुल्य धारिता $C_p = 3C$ है।
समांतर संयोजन में संचित ऊर्जा $U_p = (1/2) C_p V_p^2 = (1/2) (3C) V_p^2 = (3 C V_p^2) / 2$ है।
यह दिया गया है कि संचित ऊर्जा समान है, इसलिए $U_p = U_s$।
$(3 C V_p^2) / 2 = (C V_s^2) / 6$।
$V_p^2 / V_s^2 = (1/6) * (2/3) = 2/18 = 1/9$।
वर्गमूल लेने पर, $V_p / V_s = 1/3$।
अतः, समांतर और श्रेणी संयोजन में विभवांतर का अनुपात $1 : 3$ है।

(B) मान लीजिए $C_1 = C$ और $C_2 = 2C$ है।
श्रेणी संयोजन के लिए, तुल्य धारिता $C_s = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2}{3}C$ है।
श्रेणी क्रम में संचित ऊर्जा $U_s = \frac{1}{2} C_s V_s^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3}C) V_s^2 = \frac{1}{3} C V_s^2$ है।
समानांतर संयोजन के लिए, तुल्य धारिता $C_p = C_1 + C_2 = C + 2C = 3C$ है।
समानांतर क्रम में संचित ऊर्जा $U_p = \frac{1}{2} C_p V_p^2 = \frac{1}{2} (3C) V_p^2 = \frac{3}{2} C V_p^2$ है।
यह दिया गया है कि संचित ऊर्जा समान है, इसलिए $U_s = U_p$।
$\frac{1}{3} C V_s^2 = \frac{3}{2} C V_p^2$।
$\frac{V_s^2}{V_p^2} = \frac{3}{2} \times 3 = \frac{9}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $\frac{V_s}{V_p} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$।
अतः, अनुपात $V_s : V_p = 3 : \sqrt{2}$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है।
श्रेणीक्रम में, तुल्य धारिता $C_s = C/3$ होती है।
श्रेणीक्रम में संचित ऊर्जा $U_s = (1/2) C_s V^2 = (1/2) (C/3) V^2 = (1/6) C V^2$ है।
समांतर क्रम में, तुल्य धारिता $C_p = 3C$ होती है।
समांतर क्रम में संचित ऊर्जा $U_p = (1/2) C_p V^2 = (1/2) (3C) V^2 = (3/2) C V^2$ है।
श्रेणीक्रम और समांतर क्रम में संचित ऊर्जा का अनुपात $U_s / U_p = ((1/6) C V^2) / ((3/2) C V^2) = (1/6) * (2/3) = 2/18 = 1/9$ है।
अतः, अनुपात $1 : 9$ है।