Refraction Through Prism Questions in Hindi

(B) एक समबाहु प्रिज्म के लिए, प्रिज्म का कोण $A = 60^\circ$ होता है।
मान लीजिए कि प्रकाश की किरण पहले फलक पर लंबवत आपतित होती है, इसलिए आपतन कोण $i_1 = 0^\circ$ और अपवर्तन कोण $r_1 = 0^\circ$ है।
प्रिज्म के अंदर, दूसरे फलक (रंगे हुए फलक) पर आपतन कोण $r_2 = A - r_1 = 60^\circ - 0^\circ = 60^\circ$ है।
रंगे हुए फलक पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए, आपतन कोण $r_2$ का मान प्रिज्म और रंगे हुए पदार्थ के बीच के क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः, $r_2 \geq C$, जिसका अर्थ है $\sin(r_2) \geq \sin(C)$।
दिया गया है कि $\sin(C) = \frac{n_2}{\mu_{\text{prism}}}$, इसलिए $\sin(60^\circ) \geq \frac{n_2}{1.6}$।
$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{\sqrt{3}}{2} \geq \frac{n_2}{1.6}$।
$n_2$ के लिए हल करने पर, $n_2 \leq 1.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.8\sqrt{3}$।
अतः, $n_2$ का अधिकतम मान $0.8\sqrt{3}$ है।

(B) सबसे पहले, प्रिज्म पदार्थ का अपवर्तनांक $\mu$ सूत्र $\mu = \frac{c}{v}$ का उपयोग करके ज्ञात करें, जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $v = 2.12 \times 10^8 \text{ m/s}$ प्रिज्म में प्रकाश की गति है।
$\mu = \frac{3 \times 10^8}{2.12 \times 10^8} \approx 1.414 = \sqrt{2}$.
एक समबाहु प्रिज्म के लिए, प्रिज्म का कोण $A = 60^\circ$ होता है। न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के संदर्भ में अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A+\delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ है।
मान रखने पर: $\sqrt{2} = \frac{\sin((60^\circ + \delta_m)/2)}{\sin(30^\circ)}$.
चूंकि $\sin(30^\circ) = 0.5$, इसलिए $\sqrt{2} = \frac{\sin(30^\circ + \delta_m/2)}{0.5}$.
$\sin(30^\circ + \delta_m/2) = 0.5 \times \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसका अर्थ है $30^\circ + \delta_m/2 = 45^\circ$.
$\delta_m/2 = 15^\circ$, अतः $\delta_m = 30^\circ$.

(C) एक समबाहु प्रिज्म के लिए, प्रिज्म कोण $A = 60^\circ$ होता है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A/2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$ है।
अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A+\delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ है।
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{\sin((60^\circ + 30^\circ)/2)}{\sin(60^\circ/2)} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}$.
चूंकि $\sin(45^\circ) = 1/\sqrt{2}$ और $\sin(30^\circ) = 1/2$, इसलिए $\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(D) एक समबाहु प्रिज्म में, प्रिज्म का कोण $A = 60^\circ$ होता है।
जब अपवर्तित किरण आधार के समानांतर होती है, तो प्रिज्म न्यूनतम विचलन की स्थिति में होता है।
इस स्थिति में, आपतन कोण $i$, निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है।
दिया गया है, $i = 50^\circ$, इसलिए $e = 50^\circ$ होगा।
विचलन कोण $(\delta)$ का सूत्र: $\delta = i + e - A$ है।
मान रखने पर: $\delta = 50^\circ + 50^\circ - 60^\circ$.
$\delta = 100^\circ - 60^\circ = 40^\circ$.

(C) एक पतले प्रिज्म के लिए, न्यूनतम विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = (n - 1)A$, जहाँ $n$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म कोण है।
हवा में, $\delta_1 = (^a n_g - 1)A = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$.
जब प्रिज्म को द्रव में डुबोया जाता है, तो द्रव के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक $^l n_g = \frac{^a n_g}{^a n_l} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ होता है।
नया न्यूनतम विचलन कोण $\delta_2 = (^l n_g - 1)A = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$.
$\delta_1$ और $\delta_2$ की तुलना करने पर: $\frac{\delta_2}{\delta_1} = \frac{1/8 A}{1/2 A} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
अतः, $\delta_2 = \frac{1}{4} \delta_1$.

(C) एक पतले प्रिज्म के लिए, न्यूनतम विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = (\mu - 1)A$, जहाँ $\mu$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
हवा में, हवा के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu_a = \frac{\mu_g}{\mu_{air}} = \frac{3/2}{1} = 3/2$ है।
अतः, $\delta = (3/2 - 1)A = \frac{1}{2}A$.
जब प्रिज्म को पानी में डुबोया जाता है, तो पानी के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu_w = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ होता है।
नया न्यूनतम विचलन कोण $\delta'$ इस प्रकार है: $\delta' = (\mu_w - 1)A = (9/8 - 1)A = \frac{1}{8}A$.
$\delta'$ और $\delta$ की तुलना करने पर: $\frac{\delta'}{\delta} = \frac{(1/8)A}{(1/2)A} = \frac{1}{4}$.
इसलिए, $\delta' = \frac{\delta}{4}$.

(A) समबाहु प्रिज्म के लिए, प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$ है।
निर्गत किरण दूसरे फलक को स्पर्श करती हुई निकलती है, जिसका अर्थ है कि निर्गत कोण $e = 90^{\circ}$ है।
दूसरे फलक पर, स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu \sin r_2 = 1 \cdot \sin e$.
$\sqrt{2} \sin r_2 = \sin 90^{\circ} = 1 \implies \sin r_2 = 1/\sqrt{2} \implies r_2 = 45^{\circ}$.
चूंकि $r_1 + r_2 = A$, इसलिए $r_1 + 45^{\circ} = 60^{\circ} \implies r_1 = 15^{\circ}$।
पहले फलक पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $1 \cdot \sin i = \mu \sin r_1$.
$\sin i = \sqrt{2} \sin 15^{\circ} \implies i = \sin^{-1} (\sqrt{2} \sin 15^{\circ})$।

(B) माना पहली सतह पर आपतन कोण $i = 2A$ है और अपवर्तन कोण $r_1$ है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1} = \frac{\sin 2A}{\sin r_1}$।
प्रिज्म के लिए, अपवर्तक कोण $A = r_1 + r_2$ होता है।
चूँकि प्रकाश की किरण दूसरी सतह पर परावर्तन के बाद उसी पथ पर वापस लौटती है, इसलिए इसे दूसरी सतह पर लंबवत गिरना चाहिए।
अतः, दूसरी सतह पर आपतन कोण $0$ है, जिसका अर्थ है कि अपवर्तन कोण $r_2 = 0$ है।
$r_2 = 0$ को प्रिज्म समीकरण में रखने पर: $A = r_1 + 0$, इसलिए $r_1 = A$।
अब, $r_1 = A$ को स्नेल के नियम के समीकरण में रखने पर: $\mu = \frac{\sin 2A}{\sin A}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$।
इस प्रकार, प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $2 \cos A$ है।

(C) एक पतले प्रिज्म के लिए, न्यूनतम विचलन कोण $(\delta_m)$ का सूत्र $\delta_m = (\mu - 1)A$ होता है, जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म कोण है।
यहाँ $\mu = 1.5$ दिया गया है, इसलिए $\delta_m = (1.5 - 1)A = 0.5A = \frac{A}{2}$ होगा।
पतले प्रिज्म के लिए, अपवर्तन कोण $r$ और प्रिज्म कोण $A$ के बीच संबंध $A = 2r$ होता है (क्योंकि न्यूनतम विचलन की स्थिति में $r_1 = r_2 = r$ और $A = r_1 + r_2$ होता है)।
अब, $A = 2r$ को $\delta_m$ के समीकरण में रखने पर, हमें $\delta_m = \frac{2r}{2} = r$ प्राप्त होता है।
अतः, सही संबंध $\delta_m = r$ है।

(D) एक समबाहु प्रिज्म के लिए, प्रिज्म का कोण $A = 60^\circ$ होता है।
दिए गए ग्राफ से, न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 30^\circ$ है जो $i = 45^\circ$ पर प्राप्त होता है।
अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
मान रखने पर:
$\mu = \frac{\sin(\frac{60^\circ + 30^\circ}{2})}{\sin(\frac{60^\circ}{2})} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}$
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
अतः, सही विकल्प $D$ है।