मान लीजिए f(x) = begin{cases} x, & x in mathb | vedclass

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Question

(A) $x = \frac{1}{2}$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम $x 	o \frac{1}{2}$ के लिए सीमा का मान ज्ञात करते हैं।$f(x)$ के $x = a$ पर सतत होन

Vedclass · Accepted Answer

सतत लेकिन अवकलनीय नहीं

Vedclass · Answer

(A) $x = \frac{1}{2}$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम $x 	o \frac{1}{2}$ के लिए सीमा का मान ज्ञात करते हैं।$f(x)$ के $x = a$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o a} f(x) = f(a)$ होना चाहिए।यहाँ,$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ (क्योंकि $\frac{1}{2}$ एक परिमेय संख्या है)।परिमेय संख्याओं के किसी भी अनुक्रम $r_n 	o \frac{1}{2}$ के लिए,$f(r_n) = r_n 	o \frac{1}{2}$।अपरिमेय संख्याओं के किसी भी अनुक्रम $i_n 	o \frac{1}{2}$ के लिए,$f(i_n) = 1 - i_n 	o 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।चूंकि सीमा का अस्तित्व है और यह $f(\frac{1}{2})$ के बराबर है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = \frac{1}{2}$ पर सतत है।अब,अवकलनीयता की जाँच करें: $f'(1/2) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(1/2 + h) - f(1/2)}{h}$।यदि $1/2 + h$ परिमेय है,तो $\frac{f(1/2+h) - f(1/2)}{h} = \frac{1/2+h - 1/2}{h} = 1$।यदि $1/2 + h$ अपरिमेय है,तो $\frac{f(1/2+h) - f(1/2)}{h} = \frac{1 - (1/2+h) - 1/2}{h} = \frac{-h}{h} = -1$।चूंकि सीमा का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = \frac{1}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 1 - x, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$. तो $x = \frac{1}{2}$ पर $f(x)$ क्या है?

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यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{72^x-9^x-8^x+1}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}} & , x \neq 0 \\ a \ln 2 \ln 3 & , x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $a^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिए गए फलन $f(x) = 2x \sqrt{x^3 - 1} + 5 \sqrt{x} \sqrt{1 - x^4} + 7x^2 \sqrt{x - 1} + 3x + 2$ के लिए:

$k$ का वह मान,जिसके लिए फलन $f(x) = \begin{cases} (\frac{4}{5})^{\frac{\tan 4x}{\tan 5x}}, & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ k + \frac{2}{5}, & x = \frac{\pi}{2} \end{cases}$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,है:

$f(x) = |x|$ द्वारा दिए गए फलन $f$ की $x = 0$ पर सांतत्य की चर्चा कीजिए।

यदि एक वास्तविक मान फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+(a+3)x+(a+1)}{x+3} & x \neq -3 \\ -\frac{5}{2} & x = -3 \end{cases}$ बिंदु $x = -3$ पर सतत है,तो $\lim_{x \rightarrow a} (x^2+x+1) = $

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