int_{-2}^{pi} frac{sin^2 x}{[frac{x}{pi}] + f | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) माना $I = \int_{-2}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}} \,dx$. $[\frac{x}{\pi}]$ के मान के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं। $x

Vedclass · Accepted Answer

$\pi - 2 + \sin 2 \cos 2$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{-2}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}} \,dx$. $[\frac{x}{\pi}]$ के मान के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं। $x \in [-2, 0)$ के लिए,$\frac{x}{\pi} \in [-\frac{2}{\pi}, 0)$,इसलिए $[\frac{x}{\pi}] = -1$. $x \in [0, \pi)$ के लिए,$\frac{x}{\pi} \in [0, 1)$,इसलिए $[\frac{x}{\pi}] = 0$. अतः,$I = \int_{-2}^{0} \frac{\sin^2 x}{-1 + 1/2} \,dx + \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{0 + 1/2} \,dx$. $I = -2 \int_{-2}^{0} \sin^2 x \,dx + 2 \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \,dx$. $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = -2 \int_{-2}^{0} \frac{1 - \cos 2x}{2} \,dx + 2 \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} \,dx$. $I = -[x - \frac{\sin 2x}{2}]_{-2}^{0} + [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi}$. $I = -[0 - (-2 - \frac{\sin(-4)}{2})] + [(\pi - \frac{\sin 2\pi}{2}) - 0]$. $I = -[2 - \frac{\sin 4}{2}] + \pi = \pi - 2 + \frac{\sin 4}{2}$. चूंकि $\sin 4 = 2 \sin 2 \cos 2$,इसलिए $I = \pi - 2 + \sin 2 \cos 2$.

$\int_{-2}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए। (जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।)

Similar Questions

यदि $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है,तो समाकलन $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} [[x] - \sin x] \, dx$ का मान क्या होगा?

यदि $M=\int_0^{\infty} \frac{\log t}{1+t^3} d t$ और $N=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{t e^{2 t}}{1+e^{3 t}} d t$ है,तो

कथन $(A): \int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a (f(x) + f(-x)) dx$
कारण $(R): \int_a^b f(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(g(u)) g'(u) du$
निम्नलिखित में से सही विकल्प चुनें:

$\int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx = $

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{2\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx = . . . . . .$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module