ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $P$ અને $Q$ છે અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.
સાબિતી:
$1$. $\Delta ABQ$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $PQ$ એ $\Delta ABQ$ ની મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar} (APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABQ)$.
$2$. $\Delta APQ$ માં,$R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$QR$ એ $\Delta APQ$ ની મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (APQ) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABQ)) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABQ)$.
$3$. $AQ$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,$\operatorname{ar} (ABQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)$.
આ કિંમત મૂકતા,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)) = \frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC)$.
$4$. હવે,$\Delta ARC$ ને ધ્યાનમાં લો. $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CR$ એ $\Delta APC$ ની મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (APC)$.
$5$. $CP$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,$\operatorname{ar} (APC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC)$.
$6$. પરિણામોની સરખામણી કરતા: $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC)$ અને $\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC)$.
સ્પષ્ટ છે કે,$\frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC))$.
આમ,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.