$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતું એક વર્તુળ એવી રીતે દોરવામાં આવ્યું છે કે તે $AD$ ને $P$ માં અને $BC$ ને $Q$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $P, Q, C$ અને $D$ એકવર્તુળીય (concyclic) છે.

(N/A) $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ $AD$ ને $P$ માં અને $BC$ ને $Q$ માં છેદે છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $P, Q, C$ અને $D$ એકવર્તુળીય છે.
$1$. $ABQP$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી,બાજુ $AP$ ને $D$ સુધી લંબાવતા બનતો બહિષ્કોણ તેના અંતઃસન્મુખ કોણ જેટલો થાય.
ધારો કે $\angle QPD$ એ $P$ આગળનો બહિષ્કોણ છે. તેથી,$\angle QPD = \angle ABQ$.
$2$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AD \parallel BC$. પરંતુ,સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DC$ ની છેદિકા $BC$ લેતા,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણો).
$3$. $\angle QPD = \angle ABQ$ (ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABQP$ ના ગુણધર્મ મુજબ) અને આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle ABQ + \angle C = 180^{\circ}$,તેથી આપણે $\angle ABQ$ ની જગ્યાએ $\angle QPD$ મૂકી શકીએ.
$4$. તેથી,$\angle QPD + \angle C = 180^{\circ}$.
$5$. ચતુષ્કોણ $PDCQ$ ના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$PDCQ$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
આમ,બિંદુઓ $P, Q, C$ અને $D$ એકવર્તુળીય છે.