बिंदु $P(\sqrt{5}, \sqrt{5})$ से गुजरने वाली एक रेखा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1$ को $A$ और $B$ पर इस प्रकार काटती है कि $(PA) \cdot (PB)$ अधिकतम हो। तब $5(PA^2 + PB^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि रेखा $2x + 3y - k = 0, k > 0$,$x$-अक्ष और $y$-अक्ष को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है। यदि रेखाखंड $AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 3x - 2y = 0$ है और दीर्घवृत्त $x^2 + 9y^2 = k^2$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,तो $2m + n$ का मान ज्ञात कीजिए।

वृत्त $x^2 + y^2 = 3$ की उन स्पर्श रेखाओं की संख्या,जो दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ के अभिलंब हैं,है

एक दीर्घवृत्त (ellipse) खींचा गया है जिसके मुख्य और लघु अक्ष की लंबाई क्रमशः $10$ और $8$ है। एक नाभि (focus) को केंद्र मानकर,एक वृत्त खींचा गया है जो दीर्घवृत्त को स्पर्श करता है,और वृत्त का कोई भी भाग दीर्घवृत्त के बाहर नहीं है। वृत्त की त्रिज्या है

$e = \frac{1}{2}$ उत्केंद्रता वाले एक दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर है। यदि इसकी एक नियता $x = 4$ है,तो दीर्घवृत्त का समीकरण क्या है?

यदि $a$ और $c$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4c^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1$ के वृत्त $x^2 + y^2 = 9a^2$ के साथ चार भिन्न उभयनिष्ठ बिंदु हैं,तो