$P(\sqrt{5}, \sqrt{5})$ બિંદુમાંથી પસાર થતી એક રેખા ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1$ ને $A$ અને $B$ માં છેદે છે જેથી $(PA) \cdot (PB)$ મહત્તમ થાય. તો $5(PA^2 + PB^2)$ ની કિંમત શોધો:

જો $\tan \theta_1 \cdot \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$ હોય,તો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બે બિંદુઓ $\theta_1$ અને $\theta_2$ ને જોડતી જીવા કયા બિંદુએ કાટખૂણો આંતરે છે?

જો $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ પરનું કોઈ બિંદુ હોય અને $S$ તથા $S^{\prime}$ તેના નાભિબિંદુઓ હોય,તો $PS + PS^{\prime}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $10$ છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા એ વિધેય $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$,$t \in R$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $a^2 + b^2$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરનું કોઈ પણ બિંદુ છે,જ્યાં $a > b > 0$. ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલયના નાભિઓ છે. જ્યારે $P$ ઉપવલય પર ગતિ કરે ત્યારે $\triangle P F_1 F_2$ ના મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ શું હશે?

$(2, 1)$ માંથી પસાર થતું પ્રકાશનું કિરણ $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $P$ પર પરાવર્તિત થાય છે અને પછી $(5, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. જો આ પરાવર્તિત કિરણ એ $e = \frac{1}{3}$ ઉત્કેન્દ્રતા ધરાવતા ઉપવલયની નિયામિકા હોય અને આ નિયામિકાથી નજીકના નાભિનું અંતર $\frac{8}{\sqrt{53}}$ હોય,તો બીજી નિયામિકાનું સમીકરણ શું હોઈ શકે?