बिंदु P(a, 0) से गुजरने वाली एक रेखा धनात्मक | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए प्रारंभिक रेखा $PQ$ है जिसकी ढाल $	an \alpha$ है। घड़ी की दिशा में $\frac{\alpha}{2}$ कोण से घुमाने के बाद,नई रेखा $PR$ का झुकाव कोण $\

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(A) मान लीजिए प्रारंभिक रेखा $PQ$ है जिसकी ढाल $	an \alpha$ है। घड़ी की दिशा में $\frac{\alpha}{2}$ कोण से घुमाने के बाद,नई रेखा $PR$ का झुकाव कोण $\alpha - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}$ होगा।नई रेखा $PR$ की ढाल $2-\sqrt{3}$ दी गई है,इसलिए $	an(\frac{\alpha}{2}) = 2-\sqrt{3} = 	an 15^{\circ}$ है।अतः,$\frac{\alpha}{2} = 15^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\alpha = 30^{\circ}$।बिंदु $P(a, 0)$ से गुजरने वाली और $m = 2-\sqrt{3}$ ढाल वाली रेखा $PR$ का समीकरण $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - a)$ है,जिसे सरल करने पर $(2-\sqrt{3})x - y - a(2-\sqrt{3}) = 0$ प्राप्त होता है।मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $\frac{1}{\sqrt{2}}$ दी गई है।दूरी सूत्र $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{|-a(2-\sqrt{3})|}{\sqrt{(2-\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।हर का सरलीकरण: $\sqrt{4 + 3 - 4\sqrt{3} + 1} = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$।अतः,$|a| = \sqrt{3}+1$।$a^2 = (\sqrt{3}+1)^2 = 4+2\sqrt{3}$।अब,$3a^2 	an^2 \alpha - 2\sqrt{3} = 3(4+2\sqrt{3}) 	an^2 30^{\circ} - 2\sqrt{3} = 3(4+2\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{3} - 2\sqrt{3} = 4+2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4$।

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