$ABC$ એ સમતલમાં એક ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(2, 3, 5)$,$B(-1, 3, 2)$ અને $C(\lambda, 5, \mu)$ છે. જો $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોય,તો $\lambda + \mu$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે રેખાઓ $L_1: \vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ અને $L_2: \vec{r}=(4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k})+\mu(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ વચ્ચેનું ટૂંકું અંતર દર્શાવતી રેખા $L_1$ અને $L_2$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ બિંદુએ છેદે છે. જો $(\alpha, \beta, \gamma)$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોય,તો $2(\alpha+\beta+\gamma)$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

વિધાન $-1$: બિંદુ $A(1, 0, 7)$ એ રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3}$ માં બિંદુ $B(1, 6, 3)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
વિધાન $-2$: રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3}$ એ $A(1, 0, 7)$ અને $B(1, 6, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડને દુભાગે છે.

બિંદુ $2 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}$ માંથી રેખા $\vec{r} = (11 \hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k}) + \lambda(10 \hat{i} - 4 \hat{j} - 11 \hat{k})$ પર દોરેલા લંબના લંબપાદના યામ શોધો.

ધારો કે રેખા $L$ એ $(1,1,1)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{1}$ ને છેદે છે. તો,નીચેનામાંથી કયું બિંદુ રેખા $L$ પર આવેલું છે?

રેખાઓ $\frac{x+7}{-6}=\frac{y-6}{7}=\frac{z}{1}$ અને $\frac{7-x}{2}=y-2=z-6$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.