int frac{1}{1+e^{x}} d x का मान ज्ञात कीजिए | vedclass

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Question

(C) समाकलन $ I = \int \frac{1}{1+e^{x}} d x $ का मूल्यांकन करने के लिए:अंश और हर को $ e^{-x} $ से गुणा करने पर:$ I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(1+e^{x}

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$ \log _{e}\left(\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\right)+C $

Vedclass · Answer

(C) समाकलन $ I = \int \frac{1}{1+e^{x}} d x $ का मूल्यांकन करने के लिए:अंश और हर को $ e^{-x} $ से गुणा करने पर:$ I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(1+e^{x})} d x $$ I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} d x $माना $ u = e^{-x} + 1 $. तब $ du = -e^{-x} d x $,जिसका अर्थ है $ e^{-x} d x = -du $.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$ I = \int \frac{-du}{u} $$ I = -\ln |u| + C $$ I = -\ln |e^{-x} + 1| + C $लघुगणक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:$ I = -\ln \left| \frac{1}{e^{x}} + 1 \right| + C $$ I = -\ln \left| \frac{1+e^{x}}{e^{x}} \right| + C $गुणधर्म $ -\ln(a/b) = \ln(b/a) $ का उपयोग करने पर:$ I = \ln \left| \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \right| + C $अतः,सही विकल्प $ C $ है।

$ \int \frac{1}{1+e^{x}} d x $ का मान ज्ञात कीजिए।

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