$4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ldots \infty}}} = $

यदि समीकरण $ax^2 + x + b = 0$ के मूल वास्तविक और भिन्न हैं,तो समीकरण $x^2 - 4\sqrt{ab}x + 1 = 0$ के मूलों की प्रकृति क्या होगी?

मान लीजिए $S = \{ x : x \in R \text{ और } (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{x^2 - 4} + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{x^2 - 4} = 10 \}$ है। तो $n(S)$ का मान क्या है?

यदि $\alpha$ और $\beta$ सबसे छोटे धनात्मक पूर्णांक हैं कि सभी $n \in N$ के लिए, $n^3+\alpha n$, $3$ से विभाज्य है और $n^3-\beta n$, $6$ से विभाज्य है, तो $\alpha+\beta=$

मान लीजिए $p(x) = x^2 + ax + b$ के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,जहाँ $a, b$ वास्तविक संख्याएँ हैं। सभी वास्तविक संख्या $x$ के लिए $g(x) = p(x^3)$ को परिभाषित करें। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I.$ $g$ के ठीक दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
$II.$ $g$ के दो से अधिक भिन्न वास्तविक मूल हो सकते हैं।
$III.$ एक ऐसी वास्तविक संख्या $\alpha$ मौजूद है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $g(x) \geq \alpha$ है।

मान लीजिए $N$ उन द्विघात समीकरणों की संख्या है जो $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में हैं, जहाँ गुणांक $a, b, c \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ हैं और $0$ प्रत्येक समीकरण का एक हल है। तो $N$ का मान ज्ञात कीजिए।