$R-\{0\}$ પર $f(x)=\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+2 \cos ^3 \frac{x}{2}$ એ શું છે?

તદેવ વિધેય $I_{N}: N \rightarrow N$ ધ્યાનમાં લો,જે $I_{N}(x) = x$ દરેક $x \in N$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. દર્શાવો કે જોકે $I_{N}$ વ્યાપ્ત (onto) છે,પરંતુ $I_{N} + I_{N}: N \rightarrow N$ જે $(I_{N} + I_{N})(x) = I_{N}(x) + I_{N}(x) = x + x = 2x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તે વ્યાપ્ત નથી.

ધારો કે $A = \{1, 2, 3, \ldots, 7\}$ અને $P(A)$ એ $A$ નો ઘાતગણ દર્શાવે છે. જો $f: A \rightarrow P(A)$ એવા વિધેયોની સંખ્યા કે જેથી દરેક $a \in A$ માટે $a \in f(a)$ થાય,તે $m^n$ હોય,જ્યાં $m, n \in N$ અને $m$ ન્યૂનતમ હોય,તો $m + n$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

ધારો કે $g: N \rightarrow N$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$g(3n+1)=3n+2$
$g(3n+2)=3n+3$
$g(3n+3)=3n+1, \text{ તમામ } n \geq 0 \text{ માટે}$
તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

જો $f: N \times N \rightarrow N$ એ $f(m, n) = mn$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f$ એ . . . . . . છે.

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} -a & \text{જો } -a \leq x \leq 0 \\ x+a & \text{જો } 0 < x \leq a \end{cases}$ જ્યાં $a > 0$ અને $g(x) = \frac{f(|x|) - |f(x)|}{2}$ છે. તો વિધેય $g: [-a, a] \rightarrow [-a, a]$ એ