int frac{log _e x}{left(1+log _e xright)^2} d | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{\log _e x}{(1+\log _e x)^2} dx$. $\log _e x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। इन मानों को

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$\frac{x}{\left(1+\log _e x\right)}+C$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{\log _e x}{(1+\log _e x)^2} dx$. $\log _e x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{t}{(1+t)^2} e^t dt$. अंश को $(t+1-1)$ के रूप में लिखने पर: $I = \int \frac{t+1-1}{(1+t)^2} e^t dt = \int \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) e^t dt$. मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1+t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{(1+t)^2}$: $I = e^t \left( \frac{1}{1+t} \right) + C$. $t = \log _e x$ वापस रखने पर: $I = e^{\log _e x} \left( \frac{1}{1+\log _e x} \right) + C = \frac{x}{1+\log _e x} + C$.

$\int \frac{\log _e x}{\left(1+\log _e x\right)^2} d x=$

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यदि $\int \frac{3-x^2}{1-2 x+x^2} e^x d x=e^x f(x)+c$ है, तो $f(x)$ क्या है?

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