int_0^1 x operatorname{Sin}^{-1} x , dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) સંકલન $I = \int_0^1 x \operatorname{Sin}^{-1} x \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. ધ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{8}$

Vedclass · Answer

(A) સંકલન $I = \int_0^1 x \operatorname{Sin}^{-1} x \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. ધારો કે $u = \operatorname{Sin}^{-1} x$ અને $dv = x \, dx$. તેથી $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ અને $v = \frac{x^2}{2}$. સૂત્ર લાગુ પાડતા: $I = \left[ \frac{x^2}{2} \operatorname{Sin}^{-1} x ight]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \, dx$. પ્રથમ ભાગની ગણતરી કરતા: $\left[ \frac{1^2}{2} \operatorname{Sin}^{-1}(1) - 0 ight] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$. બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $J = \int_0^1 \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \, dx$. $x = \sin 	heta$,$dx = \cos 	heta \, d	heta$ આદેશ લેતા. $J = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2 	heta \cos 	heta}{\cos 	heta} \, d	heta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin^2 	heta \, d	heta$. $\sin^2 	heta = \frac{1 - \cos 2	heta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $J = \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2	heta) \, d	heta = \frac{1}{4} \left[ 	heta - \frac{\sin 2	heta}{2} ight]_0^{\pi/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$. આમ,$I = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$.

$\int_0^1 x \operatorname{Sin}^{-1} x \, dx =$

Similar Questions

Simpson ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અને અંતરાલ $[1,3]$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $\int_1^3 \frac{dx}{2+3x}$ ની આશરે કિંમત શોધો.

$\int_0^\pi \frac{1}{1+\sin x} dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{a}^{b} \operatorname{sgn}(x) \, dx = \dots$ (જ્યાં $a, b \in \mathbb{R}$)

ધારો કે $I = \int_{10}^{19} \frac{\sin x}{1+x^{6}} dx$. તો,

$[0, \pi]$ પર $y = \sin x$ નો સરેરાશ ઓર્ડિનેટ (average ordinate) કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module