int_0^{pi / 4} frac{cos ^2 x}{cos ^2 x+4 sin | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x + 4 \sin^2 x} dx$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{1}{

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$\frac{\pi}{12} + \frac{1}{3} 	an^{-1} 2$

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(D) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x + 4 \sin^2 x} dx$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{1}{1 + 4 	an^2 x} dx$. माना $u = 	an x$,तब $du = \sec^2 x dx = (1 + u^2) dx$,इसलिए $dx = \frac{du}{1 + u^2}$. जब $x = 0, u = 0$. जब $x = \pi / 4, u = 1$. $I = \int_0^1 \frac{1}{(1 + 4u^2)(1 + u^2)} du$. आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1 + 4u^2)(1 + u^2)} = \frac{A}{1 + 4u^2} + \frac{B}{1 + u^2}$. $1 = A(1 + u^2) + B(1 + 4u^2)$. $u^2 = -1$ के लिए,$1 = B(1 - 4) \implies B = -1/3$. $u^2 = -1/4$ के लिए,$1 = A(1 - 1/4) \implies A = 4/3$. $I = \int_0^1 (\frac{4/3}{1 + 4u^2} - \frac{1/3}{1 + u^2}) du$. $I = \frac{4}{3} \int_0^1 \frac{1}{1 + (2u)^2} du - \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{1}{1 + u^2} du$. $I = \frac{4}{3} [\frac{1}{2} 	an^{-1}(2u)]_0^1 - \frac{1}{3} [	an^{-1} u]_0^1$. $I = \frac{2}{3} 	an^{-1} 2 - \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{3} 	an^{-1} 2 - \frac{\pi}{12}$.

$\int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x=$

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