int_0^pi x cdot sin^5 x cdot cos^6 x , dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_0^\pi x \sin^5 x \cos^6 x \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^\pi (\pi - x)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{8 \pi}{693}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_0^\pi x \sin^5 x \cos^6 x \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^5(\pi - x) \cos^6(\pi - x) \, dx$ કારણ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$ અને $\cos(\pi - x) = -\cos x$,તેથી: $I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^5 x (-\cos x)^6 \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^5 x \cos^6 x \, dx$ $I = \pi \int_0^\pi \sin^5 x \cos^6 x \, dx - I$ $2I = \pi \int_0^\pi \sin^5 x \cos^6 x \, dx$ $\sin^5 x \cos^6 x$ એ $x = \pi/2$ ની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,$\int_0^\pi \sin^5 x \cos^6 x \, dx = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^5 x \cos^6 x \, dx$. વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\int_0^{\pi/2} \sin^5 x \cos^6 x \, dx = \frac{(4 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 3 \cdot 1)}{11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 15}{11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 15} = \frac{8}{693}$. આમ,$2I = \pi \cdot 2 \cdot \frac{8}{693} = \frac{16\pi}{693}$. $I = \frac{8\pi}{693}$.

$\int_0^\pi x \cdot \sin^5 x \cdot \cos^6 x \, dx =$

Similar Questions

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^8 x \cos ^2 x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^\pi x \sin^7 x \cos^6 x \, dx =$

ધારો કે $f(x) = \int_{\sin x}^{\cos x} e^{-t^2} dt$. તો $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{3/2} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

સમીકરણ $\int_0^{x^2} x f(t) dt = x^5 - x^3$ આપેલ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module