$(\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}) \cdot \{(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})\} = $

ધારો કે $\alpha \in \mathbb{R}$ અને ત્રણ સદિશો $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \alpha \hat{k}$,અને $\vec{c} = \alpha \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે. તો ગણ $S = \{ \alpha : \vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c} \text{ સમતલીય છે} \}$

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય,તો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec{a} \cdot \vec{a}} & {\vec{a} \cdot \vec{b}} & {\vec{a} \cdot \vec{c}} \\ {\vec{b} \cdot \vec{a}} & {\vec{b} \cdot \vec{b}} & {\vec{b} \cdot \vec{c}} \\ {\vec{c} \cdot \vec{a}} & {\vec{c} \cdot \vec{b}} & {\vec{c} \cdot \vec{c}} \end{array}} \right| = \dots$

જો $A(-1, 2, 3)$,$B(3, -2, 1)$,$C(2, 1, 3)$ અને $D(-1, -2, 4)$ એ ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ હોય,તો તેનું ઘનફળ કેટલું થાય?

જો સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) કે જેની ધાર સદિશો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ છે તેનું ઘનફળ $12$ હોય,તો ચતુષ્ફલક (tetrahedron) કે જેની ધાર $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}$ અને $\bar{c}+\bar{a}$ છે તેનું ઘનફળ કેટલું થાય?

$[b \times c, c \times a, a \times b]$ ની કિંમત શું થાય?