int frac{x^5+x}{x^8+1} dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x^5+x}{x^8+1} dx$. अंश और हर को $x^6$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^5}}{x^2 + \frac{1}{x^6}} d

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2 \sqrt{2}} 	an ^{-1}\left(\frac{x^4-1}{\sqrt{2} x^2}ight)+c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x^5+x}{x^8+1} dx$. अंश और हर को $x^6$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^5}}{x^2 + \frac{1}{x^6}} dx$. यह विधि जटिल है। वैकल्पिक विधि: माना $x^2 = t$, तब $2x dx = dt$. $I = \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t^4+1} dt$. अंश और हर को $t^2$ से विभाजित करने पर: $I = \frac{1}{2} \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{t^2 + \frac{1}{t^2}} dt$. माना $t - \frac{1}{t} = u$, तब $(1 + \frac{1}{t^2}) dt = du$. साथ ही, $t^2 + \frac{1}{t^2} = (t - \frac{1}{t})^2 + 2 = u^2 + 2$. $I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 + 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1} \left(\frac{u}{\sqrt{2}}ight) + c$. $u = t - \frac{1}{t} = \frac{t^2-1}{t} = \frac{x^4-1}{x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{2\sqrt{2}} 	an^{-1} \left(\frac{x^4-1}{\sqrt{2}x^2}ight) + c$.

$\int \frac{x^5+x}{x^8+1} dx =$

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$\int \frac{x^2-4}{x^4+9 x^2+16} \cdot \,d x=\tan ^{-1}(f(x))+c$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{1}{1 + \sin^2 x} \, dx = $

यदि $\int \sqrt{\sec 2x - 1} \, dx = \alpha \log_e \left| \cos 2x + \beta + \sqrt{\cos 2x (1 + \cos \frac{1}{\beta} x)} \right| + C$ है,तो $\beta - \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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