एक यादृच्छिक चर X का परिसर {0, 1, 2, ldots} ह | vedclass

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Question

(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है। इसलिए, $\sum_{r=0}^{\infty} P(X=r) = 1$. दिया गया है $P(X=r) = k(1+r) 3^{-r}$, अतः $k \sum

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$\frac{8}{9}$

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(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है। इसलिए, $\sum_{r=0}^{\infty} P(X=r) = 1$. दिया गया है $P(X=r) = k(1+r) 3^{-r}$, अतः $k \sum_{r=0}^{\infty} (1+r) \left(\frac{1}{3}ight)^r = 1$. माना $S = \sum_{r=0}^{\infty} (1+r) x^r$ जहाँ $x = \frac{1}{3}$. यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है: $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots$. दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर: $xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots$. दोनों को घटाने पर: $S(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = \frac{1}{1-x}$. अतः, $S = \frac{1}{(1-x)^2}$. $x = \frac{1}{3}$ के लिए, $S = \frac{1}{(1 - 1/3)^2} = \frac{1}{(2/3)^2} = \frac{9}{4}$. इसलिए, $k 	imes \frac{9}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{9}$. अब, $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k \left[ (1+0)3^0 + (1+1)3^{-1} + (1+2)3^{-2} ight]$. $= \frac{4}{9} \left[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} ight] = \frac{4}{9} \left[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} ight] = \frac{4}{9} 	imes 2 = \frac{8}{9}$.

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$F(X=x)$	$0.2$	$0.37$	$0.48$	$0.62$	$0.85$	$1$

एक यादृच्छिक चर $X$ का परिसर $\{0, 1, 2, \ldots\}$ है। यदि $P(X=r) = k(1+r) 3^{-r}$ जहाँ $r=0, 1, 2, \ldots$ और $k > 0$ एक वास्तविक संख्या है, तो $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) =$

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एक यादृच्छिक चर $X$ का p.m.f $P(X) = \frac{2x}{n(n+1)}$ है,जहाँ $x = 1, 2, 3, \ldots, n$ और अन्यथा $0$ है। तो $E(X) = $

यदि $X$ माध्य $2$ वाला एक पॉइसन चर है,तो $P\left(X>\frac{3}{2}\right)=$

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