એક લેટર લોકમાં $15$ અલગ-અલગ અક્ષરો ધરાવતી ત્રણ રિંગ્સ છે. જો $N$ એ લોક ખોલવા માટેના નિષ્ફળ પ્રયાસોની સંખ્યા દર્શાવે છે, તો:

$^{37}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {^{(42-r)}C_r} = $

જો $MATHEMATICS$ શબ્દના અક્ષરોના તમામ શક્ય ક્રમચયોની સંખ્યા જેમાં પુનરાવર્તિત અક્ષરો સાથે ન હોય તે $90(X)$ હોય,તો $X=$

$10000$ થી નાની એવી કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે જે $5$ વડે વિભાજ્ય હોય અને જેમાં કોઈ પણ અંકનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય?

$m$ છોકરાઓ અને $m$ છોકરીઓને એક હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $x$ છે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે. જો $y$ અને $z$ એ $m$ છોકરાઓ અને $m$ છોકરીઓને અનુક્રમે એક હારમાં અને એક ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા દર્શાવે છે કે જેથી છોકરાઓ અને છોકરીઓ એકાંતરે બેસે,તો $x: y: z=$

$1, 2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતી $5$ અંકની એવી સંખ્યાઓ કેટલી છે જેમાં $1$ અને $2$ બંનેનો સમાવેશ થતો હોય?