int frac{dx}{sqrt{9-8x-4x^2}} = . . . . . . | vedclass

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Question

(D) समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sqrt{9-8x-4x^2}}$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम हर में दिए गए द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखते हैं।$9 - 8x

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$\frac{1}{2} \sin^{-1} (\frac{2x+2}{\sqrt{13}})$

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(D) समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sqrt{9-8x-4x^2}}$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम हर में दिए गए द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखते हैं।$9 - 8x - 4x^2 = 9 - (4x^2 + 8x) = 9 - 4(x^2 + 2x)$.कोष्ठक के अंदर $1$ जोड़ने और घटाने पर: $9 - 4(x^2 + 2x + 1 - 1) = 9 - 4(x+1)^2 + 4 = 13 - (2x+2)^2$.अतः, समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sqrt{(\sqrt{13})^2 - (2x+2)^2}}$ हो जाता है।मानक सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u = 2x+2$ और $du = 2dx$ (इसलिए $dx = \frac{du}{2}$):$I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{(\sqrt{13})^2 - u^2}} = \frac{1}{2} \sin^{-1}(\frac{u}{\sqrt{13}}) + C$.$u = 2x+2$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $I = \frac{1}{2} \sin^{-1}(\frac{2x+2}{\sqrt{13}}) + C$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{dx}{\sqrt{9-8x-4x^2}} = $ . . . . . . + $C$

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