int_{8}^{15} frac{dx}{(x - 3)sqrt{x + 1}} = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{8}^{15} \frac{dx}{(x - 3)\sqrt{x + 1}}$.$t = \sqrt{x + 1}$ प्रतिस्थापित करने पर,$t^2 = x + 1$,अतः $x = t^2 - 1$ और $dx = 2t \, dt$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}\log \frac{5}{3}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{8}^{15} \frac{dx}{(x - 3)\sqrt{x + 1}}$.$t = \sqrt{x + 1}$ प्रतिस्थापित करने पर,$t^2 = x + 1$,अतः $x = t^2 - 1$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।जब $x = 8$,तब $t = \sqrt{8 + 1} = 3$. जब $x = 15$,तब $t = \sqrt{15 + 1} = 4$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int_{3}^{4} \frac{2t \, dt}{(t^2 - 1 - 3)t} = \int_{3}^{4} \frac{2 \, dt}{t^2 - 4}$.सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x - a}{x + a} ight| + C$ का उपयोग करने पर:$I = 2 	imes \frac{1}{2(2)} \left[ \log \left| \frac{t - 2}{t + 2} ight| ight]_{3}^{4}$.$I = \frac{1}{2} \left[ \log \left( \frac{4 - 2}{4 + 2} ight) - \log \left( \frac{3 - 2}{3 + 2} ight) ight]$.$I = \frac{1}{2} \left[ \log \left( \frac{2}{6} ight) - \log \left( \frac{1}{5} ight) ight] = \frac{1}{2} \left[ \log \left( \frac{1}{3} ight) - \log \left( \frac{1}{5} ight) ight]$.$I = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1/3}{1/5} ight) = \frac{1}{2} \log \frac{5}{3}$.

$\int_{8}^{15} \frac{dx}{(x - 3)\sqrt{x + 1}} = $

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$\int_0^{\pi / 4} \frac{\sec x}{3 \cos x+4 \sin x} d x=$

$\int_1^e \frac{1 + \log x}{x} \, dx = $

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \tan^{-1}(\sin x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{\sin \theta}^{\cos \theta} f(x \tan \theta) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $\theta \neq \frac{n \pi}{2}, n \in I$.

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