int_0^{pi /2} frac{dtheta}{1 + tan theta} = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{d	heta}{1 + 	an 	heta}$.गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^{\pi /2} \

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$\frac{\pi}{4}$

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(D) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{d	heta}{1 + 	an 	heta}$.गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^{\pi /2} \frac{d	heta}{1 + 	an(\frac{\pi}{2} - 	heta)} = \int_0^{\pi /2} \frac{d	heta}{1 + \cot 	heta}$.चूँकि $\cot 	heta = \frac{1}{	an 	heta}$,यह पद इस प्रकार होगा:$I = \int_0^{\pi /2} \frac{d	heta}{1 + \frac{1}{	an 	heta}} = \int_0^{\pi /2} \frac{	an 	heta}{1 + 	an 	heta} d	heta$.$I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:$2I = \int_0^{\pi /2} \left( \frac{1}{1 + 	an 	heta} + \frac{	an 	heta}{1 + 	an 	heta} ight) d	heta$.$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{1 + 	an 	heta}{1 + 	an 	heta} d	heta = \int_0^{\pi /2} 1 d	heta$.$2I = [	heta]_0^{\pi /2} = \frac{\pi}{2}$.अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

$\int_0^{\pi /2} \frac{d\theta}{1 + \tan \theta} = $

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यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है,तो समाकलन $\int_{-0.9}^{0.9} \left( [x^2] + \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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