જો a_1 a_2 a_3 dots a_n = 1 અને દરેક i = 1, 2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ પદાવલિ $P = \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i + a_i^2)$ છે,જ્યાં $\prod_{i=1}^{n} a_i = 1$ અને $a_i > 0$ છે.સમાંતર મધ્યક-ગુણોત્તર મધ્યક ($AM$-$GM$) અસ

Vedclass · Accepted Answer

$3^n$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ પદાવલિ $P = \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i + a_i^2)$ છે,જ્યાં $\prod_{i=1}^{n} a_i = 1$ અને $a_i > 0$ છે.સમાંતર મધ્યક-ગુણોત્તર મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,દરેક પદ $(1 + a_i + a_i^2)$ માટે:$\frac{1 + a_i + a_i^2}{3} \ge \sqrt[3]{1 \cdot a_i \cdot a_i^2} = \sqrt[3]{a_i^3} = a_i$.તેથી,$1 + a_i + a_i^2 \ge 3a_i$.આ અસમતાઓનો $i = 1$ થી $n$ સુધી ગુણાકાર કરતા:$P = \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i + a_i^2) \ge \prod_{i=1}^{n} (3a_i) = 3^n \prod_{i=1}^{n} a_i$.કારણ કે $\prod_{i=1}^{n} a_i = 1$,તેથી $P \ge 3^n \cdot 1 = 3^n$.સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $1 = a_i = a_i^2$,એટલે કે દરેક $i$ માટે $a_i = 1$.આમ,લઘુત્તમ મૂલ્ય $3^n$ છે.

જો $a_1 a_2 a_3 \dots a_n = 1$ અને દરેક $i = 1, 2, \dots, n$ માટે $a_i > 0$ હોય,તો $(1 + a_1 + a_1^2)(1 + a_2 + a_2^2)(1 + a_3 + a_3^2) \dots (1 + a_n + a_n^2)$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય શું થાય?

Similar Questions

જો $\alpha + \beta - \gamma = \pi ,$ હોય તો ${\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta - {\sin ^2}\gamma = $

જો સમીકરણ $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta + \lambda = 0$ ને $\theta$ માટે વાસ્તવિક ઉકેલો હોય,તો $\lambda$ કયા અંતરાલમાં હશે?

જો $a^2 + 2a + \csc^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 0$ આપેલ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$1 + 4 \sin \theta + 3 \cos \theta$ ના અંતિમ મૂલ્યો (extreme values) કયા છે?

$\triangle ABC$ માં,ધારો કે કોઈ પણ ખૂણા $\frac{\pi}{2}$ ના ગુણક નથી,તો $\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot A \cot C$ નું મૂલ્ય શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module