यदि एक समांतर श्रेणी के p, q और r वें पद एक ग | vedclass

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Question

(B) माना समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है। माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्व अनुपात $R$ है।$a + (p - 1)d = A R^{p - 1} =

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$1$

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(B) माना समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है। माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्व अनुपात $R$ है।$a + (p - 1)d = A R^{p - 1} = x$$a + (q - 1)d = A R^{q - 1} = y$$a + (r - 1)d = A R^{r - 1} = z$प्रत्येक समीकरण के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर:$\ln(x) = \ln(A) + (p - 1)\ln(R)$$\ln(y) = \ln(A) + (q - 1)\ln(R)$$\ln(z) = \ln(A) + (r - 1)\ln(R)$व्यंजक $E = x^{y - z} \cdot y^{z - x} \cdot z^{x - y}$ पर विचार करें।$\ln(E) = (y - z)\ln(x) + (z - x)\ln(y) + (x - y)\ln(z)$ लेने पर।$\ln(x), \ln(y), \ln(z)$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:$\ln(E) = (y - z)(\ln(A) + (p - 1)\ln(R)) + (z - x)(\ln(A) + (q - 1)\ln(R)) + (x - y)(\ln(A) + (r - 1)\ln(R))$$\ln(E) = \ln(A)(y - z + z - x + x - y) + \ln(R)((p - 1)(y - z) + (q - 1)(z - x) + (r - 1)(x - y))$चूंकि $(y - z + z - x + x - y) = 0$ और दूसरा पद भी $0$ हो जाता है,इसलिए:$\ln(E) = 0 \implies E = e^0 = 1$.

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