यदि |x|

Question

(D) माना $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \infty$. $x$ से गुणा करने पर,$xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots \infty$. दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - xS = 1

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$\frac{1}{(1 - x)^2}$

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(D) माना $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \infty$. $x$ से गुणा करने पर,$xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots \infty$. दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - xS = 1 + (2x - x) + (3x^2 - 2x^2) + (4x^3 - 3x^3) + \dots \infty$. $S(1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \infty$. दायां पक्ष एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = x$ है। चूंकि $|x| अतः,$S(1 - x) = \frac{1}{1 - x}$. $S = \frac{1}{(1 - x)^2}$.

यदि $|x| < 1$ है,तो श्रेणी $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \infty$ का योग क्या होगा?

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$\frac{1^{2}}{2} + \frac{1^{2}+2^{2}}{3} + \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}}{4} + \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}}{5} + \dots$ $8$ पदों तक $=$

उस श्रेणी के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका $n^{th}$ पद $a_n = n(n+1)(n+4)$ द्वारा दिया गया है।

यदि $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$ और $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (2021)^2 - (2022)^2 + (2023)^2 = 1012 m^2 n$ है,तो $m^2 - n^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum\limits_{r = 1}^n {\sum\limits_{m = 1}^r {m} } = \dots$

उन सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए $\frac{1^3+2^3+\ldots+(2n)^3}{1^2+2^2+\ldots+n^2}$ भी एक पूर्णांक है।

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