a और b के बीच n गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल क् | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए कि $a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्य $G_1, G_2, \dots, G_n$ हैं।तब $a, G_1, G_2, \dots, G_n, b$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ बनाते हैं।य

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$(ab)^{n/2}$

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(C) मान लीजिए कि $a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्य $G_1, G_2, \dots, G_n$ हैं।तब $a, G_1, G_2, \dots, G_n, b$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ बनाते हैं।यहाँ,पदों की कुल संख्या $n+2$ है।अंतिम पद $b = a \cdot r^{n+1}$ है,जहाँ $r$ सार्व अनुपात है।अतः,$r^{n+1} = \frac{b}{a}$,जिससे $r = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}$ प्राप्त होता है।$n$ गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल $P = G_1 \cdot G_2 \cdot \dots \cdot G_n$ है।चूँकि $G_k = a \cdot r^k$,हमारे पास $P = (a \cdot r^1) \cdot (a \cdot r^2) \dots (a \cdot r^n) = a^n \cdot r^{1+2+\dots+n} = a^n \cdot r^{\frac{n(n+1)}{2}}$ है।$r = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}$ रखने पर,$P = a^n \cdot (\frac{b}{a})^{\frac{n(n+1)}{2(n+1)}} = a^n \cdot (\frac{b}{a})^{\frac{n}{2}} = a^n \cdot \frac{b^{n/2}}{a^{n/2}} = a^{n/2} \cdot b^{n/2} = (ab)^{n/2}$।

$a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल क्या है?

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