$A, B, P, Q, R$ एक समतल में स्थित पाँच बिंदु हैं। यदि बिंदु $A$ पर कार्य करने वाले बल $\overline{AP}, \overline{AQ}, \overline{AR}$ हैं और बिंदु $B$ पर कार्य करने वाले बल $\overline{PB}, \overline{QB}, \overline{RB}$ हैं,तो इन सभी बलों का परिणामी बल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ तीन धनात्मक निर्देशांक अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश हैं। मान लीजिए $\vec{a}=3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ $(b_2, b_3 \in \mathbb{R})$,और $\vec{c}=c_1\hat{i}+c_2\hat{j}+c_3\hat{k}$ $(c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R})$ तीन ऐसे सदिश हैं कि $b_2b_3 > 0$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\begin{bmatrix} 0 & -c_3 & c_2 \\ c_3 & 0 & -c_1 \\ -c_2 & c_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-c_1 \\ 1-c_2 \\ -1-c_3 \end{bmatrix}$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?

यदि $\hat{a}, \hat{b}$ और $\hat{c}$ असमतलीय सदिश हैं और यदि $\hat{d}$ इस प्रकार है कि $\hat{d} = \frac{1}{x}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c})$ और $\hat{d} = \frac{1}{y}(\hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ जहाँ $x$ और $y$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{xy}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{c}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{d}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ है, तो निम्नलिखित List-$I$ को List-$II$ से सुमेलित कीजिए:

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$	$(A)$ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}$
(ii) $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$	$(B)$ $3$
(iii) $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$	$(C)$ $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$
(iv) $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$	$(D)$ $2\hat{i}-2\hat{k}$
	$(E)$ $2\hat{j}+2\hat{k}$
	$(F)$ $4$

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ $xyz$-अंतरिक्ष में तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} \neq 0$ है। यदि $A, B, C$ क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु हैं,तो $\triangle ABC$ के केंद्रक की संभावित स्थितियों की संख्या क्या है?

यदि $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$, $b=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $c=3 \hat{i}-4 \hat{k}$ है, तो List-$I$ की वस्तुओं का List-$II$ के साथ मिलान करें।

$A$. $a-b$ की विपरीत दिशा में इकाई सदिश	$(i) \ 5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$
$B$. यदि $\vec{AB} = a, \vec{BC} = b$ है, तो $\vec{CA} =$	$(ii) \ 2 \hat{i} - \frac{8}{3} \hat{k}$
$C$. यदि $a, b, c$ एक त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश हैं, तो इसका केंद्रक है	$(iii) \ -3 \hat{i} + 4 \hat{k}$
$D$. यदि $d$ एक सदिश है जिसका परिमाण $2 \sqrt{14}$ है और यह सदिश $a$ के समानांतर है, तो $b + d =$	$(iv) \ -\frac{\hat{i}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{j}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{k}}{\sqrt{73}}$
	$(v) \ 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$