यदि $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda\hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}$ समतलीय सदिश हैं,तो $\lambda = . . . .$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ सह-आदिम किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $3 \text{ घन इकाई}$ है। $(\vec{a} \times \vec{b}), (\vec{a} \times 2\vec{c}), (\vec{b} \times 2\vec{c})$ सह-आदिम किनारों वाले चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन (घन इकाई में) है:

$\alpha$ के उन सभी मानों का योग,जिनके लिए बिंदु जिनके स्थिति सदिश $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,$(\alpha+1) \hat{i}+2 \hat{k}$ और $9 \hat{i}+(\alpha-8) \hat{j}+6 \hat{k}$ समतलीय हैं,बराबर है

यदि $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $p, q, r$ को $p = \frac{b \times c}{[a, b, c]}, q = \frac{c \times a}{[a, b, c]}, r = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$ संबंधों द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $(a+b) \cdot p + (b+c) \cdot q + (c+a) \cdot r =$

यदि $a, b, c$ कोई भी तीन समतलीय इकाई सदिश हैं,तो

यदि $\vec{\alpha}$ एक इकाई सदिश है, $\vec{\beta}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$, और $\vec{\gamma}=\hat{i}+\hat{k}$ है, तो $[\vec{\alpha} \vec{\beta} \vec{\gamma}]$ का अधिकतम मान क्या होगा?