lambda के कितने भिन्न वास्तविक मानों के लिए स | vedclass

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Question

(C) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।अदिश त

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$2$

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(C) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:$\left|\begin{array}{ccc} -\lambda^2 & 1 & 1 \ 1 & -\lambda^2 & 1 \ 1 & 1 & -\lambda^2 \end{array}ight| = 0$प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:$-\lambda^2(\lambda^4 - 1) - 1(-\lambda^2 - 1) + 1(1 + \lambda^2) = 0$$-\lambda^6 + \lambda^2 + \lambda^2 + 1 + 1 + \lambda^2 = 0$$-\lambda^6 + 3\lambda^2 + 2 = 0$$\lambda^6 - 3\lambda^2 - 2 = 0$मान लीजिए $x = \lambda^2$ है। तब समीकरण $x^3 - 3x - 2 = 0$ हो जाता है।निरीक्षण द्वारा,$x = -1$ एक मूल है: $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$।$(x+1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x+1)(x^2 - x - 2) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका और गुणनखंड करने पर $(x+1)(x+1)(x-2) = 0$ मिलता है।अतः,$(x+1)^2(x-2) = 0$।चूंकि $x = \lambda^2$,हमारे पास $(\lambda^2 + 1)^2(\lambda^2 - 2) = 0$ है।वास्तविक $\lambda$ के लिए,$\lambda^2 + 1$ हमेशा $\ge 1$ होता है,इसलिए $\lambda^2 + 1 
eq 0$।अतः,हमें $\lambda^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $\lambda^2 = 2$ मिलता है।इसलिए,$\lambda = \pm \sqrt{2}$।इस प्रकार,$\lambda$ के $2$ भिन्न वास्तविक मान हैं।

$\lambda$ के कितने भिन्न वास्तविक मानों के लिए सदिश $-\lambda^2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} - \lambda^2 \hat{j} + \hat{k}$ और $\hat{i} + \hat{j} - \lambda^2 \hat{k}$ समतलीय हैं?

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यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$ स्थिति सदिश वाले चार अलग-अलग बिंदु समतलीय हैं,तो $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ किसके बराबर है?

यदि $3i - 2j - k, 2i + 3j - 4k, -i + j + 2k$ और $4i + 5j + \lambda k$ स्थिति सदिश वाले बिंदु समतलीय हैं,तो $\lambda = \dots$

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