कथन-1: प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओं का प्रसर | vedclass

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Question

(B) प्रथम $n$ सम प्राकृतिक संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 2n$ हैं।इनका योग $\sum x_i = 2(1 + 2 + \dots + n) = 2 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = n(n + 1)$ है।माध

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कथन-$1$ असत्य है,कथन-$2$ सत्य है।

Vedclass · Answer

(B) प्रथम $n$ सम प्राकृतिक संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 2n$ हैं।इनका योग $\sum x_i = 2(1 + 2 + \dots + n) = 2 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = n(n + 1)$ है।माध्य $\bar{x} = \frac{n(n + 1)}{n} = n + 1$ है।वर्गों का योग $\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \dots + (2n)^2 = 4(1^2 + 2^2 + \dots + n^2) = 4 \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3}$ है।प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।$\sigma^2 = \frac{2(n + 1)(2n + 1)}{3} - (n + 1)^2 = (n + 1) \left[ \frac{4n + 2}{3} - (n + 1) ight] = (n + 1) \left[ \frac{4n + 2 - 3n - 3}{3} ight] = (n + 1) \frac{n - 1}{3} = \frac{n^2 - 1}{3}$ है।चूँकि $\frac{n^2 - 1}{3} 
eq \frac{n^2 - 1}{4}$,इसलिए कथन-$1$ असत्य है और कथन-$2$ सत्य है।

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