બિંદુ $2\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ માંથી પસાર થતા અને સમતલ $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) - 7 = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સદિશ સમીકરણ શોધો.

$y$-અક્ષ પર $3$ અંતઃખંડ ધરાવતા અને $ZOX$ સમતલને સમાંતર હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $R^3$ એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ દર્શાવે છે. બે બિંદુઓ $P=(1, 2, 3)$ અને $Q=(4, 2, 7)$ લો. ધારો કે $\operatorname{dist}(X, Y)$ એ $R^3$ માં બે બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે. ધારો કે
$S=\{X \in R^3: (\operatorname{dist}(X, P))^2 - (\operatorname{dist}(X, Q))^2 = 50\}$
$T=\{Y \in R^3: (\operatorname{dist}(Y, Q))^2 - (\operatorname{dist}(Y, P))^2 = 50\}$
તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ એક એવો ત્રિકોણ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $1$ છે અને તેના બધા શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી છે.
$(B)$ $T$ માં બે અલગ બિંદુઓ $L$ અને $M$ છે જેથી રેખાખંડ $LM$ પરનું દરેક બિંદુ પણ $T$ માં હોય.
$(C)$ $48$ પરિમિતિ ધરાવતા અનંત લંબચોરસ છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી અને બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $T$ માંથી છે.
$(D)$ $48$ પરિમિતિ ધરાવતો એક ચોરસ છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી અને બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $T$ માંથી છે.

જો એક સમતલ બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 1}{4}$ ને લંબ હોય,તો ઉગમબિંદુથી તેનું લંબ અંતર કેટલું થાય?

સાબિત કરો કે જો એક સમતલના અંતઃખંડો $a, b, c$ હોય અને તે ઉગમબિંદુથી $p$ એકમ અંતરે હોય,તો $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{p^{2}}$ થાય.

જો $A$ અને $B$ એ બિંદુ $Q(a, b, c)$ માંથી $yz$ અને $zx$ સમતલો પર દોરેલા લંબપાદ હોય,તો બિંદુઓ $A, B$ અને ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $.........$ છે.