मान लीजिए कि तीन समतल हैं:P_1 : x - y + z = 1 | vedclass

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Question

(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, -1, 1)$,$\vec{n_2} = (1, 1, -1)$,और $\vec{n_3} = (1, -3, 3)$ हैं।प्रतिच्छेदन रेखाओं की दिशाएँ अभिलंबों के क

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कथन-$1$ असत्य है। कथन-$2$ सत्य है।

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(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, -1, 1)$,$\vec{n_2} = (1, 1, -1)$,और $\vec{n_3} = (1, -3, 3)$ हैं।प्रतिच्छेदन रेखाओं की दिशाएँ अभिलंबों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होती हैं:$\vec{v_1} = \vec{n_2} 	imes \vec{n_3} = (0, -4, -4) \parallel (0, 1, 1)$.$\vec{v_2} = \vec{n_3} 	imes \vec{n_1} = (0, 2, 2) \parallel (0, 1, 1)$.$\vec{v_3} = \vec{n_1} 	imes \vec{n_2} = (0, 2, 2) \parallel (0, 1, 1)$.चूँकि सभी दिशाएँ $(0, 1, 1)$ के समांतर हैं,रेखाएँ $L_1, L_2, L_3$ एक-दूसरे के समांतर हैं। अतः,कथन-$1$ असत्य है।कथन-$2$ के लिए,सारणिक $D = 0$ है,इसलिए कोई अद्वितीय उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। समीकरणों की संगति की जाँच करने पर,कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं मिलता है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।

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निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए:
$\vec{r} \cdot [(s-2t) \hat{i} + (3-t) \hat{j} + (2s+t) \hat{k}] = 15$

बिंदु $(-1, 2, -3)$ से गुजरने वाले और रेखाओं $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{-4}$ और $\frac{x}{2} = \frac{y-1}{-3} = \frac{z-2}{2}$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से $ \frac{3}{\sqrt{14}} $ की दूरी पर है और मूल बिंदु से अभिलंब सदिश $ 2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k} $ है:

एक समतल निर्देशांक अक्षों को $A, B, C$ पर मिलता है और $(\alpha, \beta, \gamma)$ त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक है। तो समतल का समीकरण क्या है?

समतलों $y + z = 0, z + x = 0, x + y = 0$ और $x + y + z = 2$ द्वारा निर्मित चतुष्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।

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