अतिपरवलय $16x^2 - y^2 + 64x + 4y + 44 = 0$ के अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) और संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) के समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $(4,6)$ से गुजरने वाले अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की उत्केंद्रता $2$ है,तो $(4,6)$ पर इस अतिपरवलय के स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केंद्रता $\sqrt{\frac{5}{2}}$ है और इसके नाभिलंब की लंबाई $6\sqrt{2}$ है। यदि $y = 2x + c$ अतिपरवलय $H$ की एक स्पर्शरेखा है,तो $c^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

सरल रेखा $2x - y = 0$ के समानांतर एक रेखा अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ को बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श करती है। तो $x_{1}^{2} + 5y_{1}^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $lx + my = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ का अभिलंब है,तो $\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2}$ का मान क्या होगा?

एक आयताकार अतिपरवलय $x^2-y^2=a^2, a > 0$ पर,तीन बिंदु $A, B, C$ इस प्रकार लिए गए हैं: $A=(-a, 0)$; $B$ और $C$ को $X$-अक्ष के सापेक्ष अतिपरवलय की उस शाखा पर सममित रूप से रखा गया है जिसमें $A$ शामिल नहीं है। मान लीजिए कि $\triangle ABC$ समबाहु है। यदि $\triangle ABC$ की भुजा की लंबाई $ka$ है,तो $k$ किस अंतराल में स्थित है?