બિંદુ $(3, 5)$ માંથી ઉપવલયો $3x^2 + 5y^2 = 32$ અને $25x^2 + 9y^2 = 450$ પર દોરી શકાય તેવા વાસ્તવિક સ્પર્શકોની સંખ્યા શોધો.

ધારો કે વક્રો $4(x^{2}+y^{2}) = 9$ અને $y^{2} = 4x$ ના સામાન્ય સ્પર્શકો બિંદુ $Q$ માં છેદે છે. ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ પર કેન્દ્રિત એક ઉપવલય છે,જેના અર્ધ-લઘુ અક્ષ અને અર્ધ-ગુરુ અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $OQ$ અને $6$ છે. જો $e$ અને $l$ એ આ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ દર્શાવતા હોય,તો $\frac{l}{e^{2}}$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(b > a)$ એ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ઉત્કેન્દ્રતા ધરાવતું ઉપવલય છે. જો ઉપવલય અને પરવલય $y^2 = 4ax$ વચ્ચેનો છેદકોણ $\theta$ હોય,તો ઉપવલય પરના બિંદુના યામ શોધો:

જો $6x - 5y - 20 = 0$ એ ઉપવલય $x^2 + 3y^2 = k$ નો અભિલંબ હોય,તો $k =$

ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું એક ચલ બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ છે. જો $A$ એ ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $A$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શું છે?

વક્ર $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ ને સ્પર્શકનું સમીકરણ જે યામ અક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે તે છે: