यदि एक बहुपद समीकरण a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ है। चूँकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह बंद अंतराल $[\alpha, \beta]$ पर सतत है और खुले अंतराल $

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कम से कम एक मूल

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(C) माना $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ है। चूँकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह बंद अंतराल $[\alpha, \beta]$ पर सतत है और खुले अंतराल $(\alpha, \beta)$ पर अवकलनीय है। यह दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$,$f(x) = 0$ के मूल हैं,इसलिए $f(\alpha) = 0$ और $f(\beta) = 0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार,$(\alpha, \beta)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो। बहुपद का अवकलज $f'(x) = na_nx^{n-1} + (n - 1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1$ है। अतः,समीकरण $f'(x) = 0$ के अंतराल $(\alpha, \beta)$ में कम से कम एक मूल होता है।

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माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(x_1)$ जहाँ $a < x_1 < b$ है। यदि $f(x) = \frac{1}{x}$ है,तो $x_1 = $

मान लीजिए $f$ अंतराल $[0,2]$ पर एक सतत फलन है और $(0,2)$ पर दो बार अवकलनीय है। यदि $f(0)=0, f(1)=1$ और $f(2)=2$ है,तो

यदि फलन $f(x) = x(x+3) e^{-\frac{x}{2}}$,$[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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