परवलय y = x^2 से बिंदु (0, c) की न्यूनतम दूरी | vedclass

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Question

(C) माना $P(x, y)$ परवलय $y = x^2$ पर एक बिंदु है और $Q(0, c)$ दिया गया बिंदु है।चूंकि $P$ परवलय पर स्थित है,$y = x^2$। दूरी $PQ$ इस प्रकार है: $PQ =

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$\frac{\sqrt{4c - 1}}{2}$

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(C) माना $P(x, y)$ परवलय $y = x^2$ पर एक बिंदु है और $Q(0, c)$ दिया गया बिंदु है।चूंकि $P$ परवलय पर स्थित है,$y = x^2$। दूरी $PQ$ इस प्रकार है: $PQ = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - c)^2}$।दूरी को न्यूनतम करने के लिए,हम $Z = PQ^2 = x^2 + (x^2 - c)^2$ को न्यूनतम करते हैं।$Z = x^2 + x^4 - 2cx^2 + c^2 = x^4 + x^2(1 - 2c) + c^2$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dZ}{dx} = 4x^3 + 2x(1 - 2c) = 2x(2x^2 + 1 - 2c)$।$\frac{dZ}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ या $x^2 = \frac{2c - 1}{2}$ प्राप्त होता है।यदि $c \leq \frac{1}{2}$ है,तो $x = 0$ एकमात्र वास्तविक समाधान है,और न्यूनतम दूरी $x = 0$ पर है,$PQ = \sqrt{0^2 + (0 - c)^2} = c$।यदि $c > \frac{1}{2}$ है,तो $x^2 = \frac{2c - 1}{2}$ न्यूनतम मान देता है। $x^2 = \frac{2c - 1}{2}$ को $Z$ में रखने पर:$Z = (\frac{2c - 1}{2}) + (\frac{2c - 1}{2} - c)^2 = \frac{2c - 1}{2} + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{2c - 1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4c - 2 + 1}{4} = \frac{4c - 1}{4}$।अतः,$PQ = \sqrt{\frac{4c - 1}{4}} = \frac{\sqrt{4c - 1}}{2}$।

परवलय $y = x^2$ से बिंदु $(0, c)$ की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए,जहाँ $0 \leq c \leq 5$ है।

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