वक्र $x^2 - y^2 = 5$ और $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ किसी उभयनिष्ठ बिंदु पर किस कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं?

दीर्घवृत्त $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$ और वृत्त $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ और $H : \frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ है। मान लीजिए $E$ की नाभियों और $H$ की नाभियों के बीच की दूरी $2\sqrt{3}$ है। यदि $a - A = 2$,और $E$ और $H$ की उत्केंद्रताओं का अनुपात $\frac{1}{3}$ है,तो उनके नाभिलंबों (latus rectums) की लंबाइयों का योग बराबर है :

$X$-अक्ष के लंबवत एक रेखा वृत्त $x^2+y^2=9$ को $A$ पर और दीर्घवृत्त $4x^2+9y^2=36$ को $B$ पर इस प्रकार काटती है कि $A$ और $B$ एक ही चतुर्थांश में स्थित हों। यदि $A$ और $B$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का सबसे बड़ा न्यून कोण $\theta$ है,तो $\tan \theta=$

स्तंभ $1, 2$ और $3$ में क्रमशः शांकव,स्पर्श रेखाओं के समीकरण और स्पर्श बिंदु दिए गए हैं।
(तालिका के लिए अंग्रेजी संस्करण देखें)
$(1)$ एक उपयुक्त शांकव (स्तंभ $1$) पर $(\sqrt{3}, 1/2)$ पर स्पर्श रेखा $\sqrt{3}x+2y=4$ है। कौन सा संयोजन सही है?
$(2)$ यदि एक उपयुक्त शांकव (स्तंभ $1$) की स्पर्श रेखा $y=x+8$ है और इसका स्पर्श बिंदु $(8, 16)$ है,तो कौन सा संयोजन सही है?
$(3)$ $a=\sqrt{2}$ के लिए,यदि एक उपयुक्त शांकव (स्तंभ $1$) पर $(-1, 1)$ पर स्पर्श रेखा खींची जाती है,तो कौन सा संयोजन सही है?

यदि वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ और $x^2 - y^2 = c^2$ समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो: