एक त्रिज्यखंड (sector) का परिमाप $p$ है। जब त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल अधिकतम हो,तो उसकी त्रिज्या क्या होगी?

फलन $f(x)=2 x^3-9 a x^2+12 a^2 x+1$ $(a>0)$ क्रमशः $p$ और $q$ पर अपना अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करता है और $p^2=q$ है। तो,$a=$

मान लीजिए $f$ एक फलन है जो $R$ (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) पर परिभाषित है,इस प्रकार कि $f^{\prime}(x)=2010(x-2009)(x-2010)^2(x-2011)^3(x-2012)^4$ सभी $x \in R$ के लिए। यदि $g$ एक फलन है जो $R$ पर परिभाषित है और जिसके मान अंतराल $(0, \infty)$ में हैं,इस प्रकार कि $f(x)=\ln(g(x))$ सभी $x \in R$ के लिए,तो $R$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $g$ का स्थानीय उच्चतम मान है,क्या है?

$a$ के उन मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए फलन $f(x) = \frac{a x^3}{3} + (a + 2) x^2 + (a - 1) x + 2$ का एक ऋणात्मक नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) है।

एक आयत की एक भुजा धनात्मक $y-$ अक्ष पर और एक भुजा धनात्मक $x-$ अक्ष पर है। ऊपरी दायां शीर्ष वक्र $y = \frac{\ln x}{x^2}$ पर स्थित है। आयत का अधिकतम क्षेत्रफल है

एक निर्माता $x$ वस्तुओं को प्रत्येक $\left(5 - \frac{x}{100}\right)$ रुपये की कीमत पर बेच सकता है। $x$ वस्तुओं का लागत मूल्य $\text{Rs} \left(\frac{x}{5} + 500\right)$ है। अधिकतम लाभ अर्जित करने के लिए उसे कितनी वस्तुएं बेचनी चाहिए,यह ज्ञात कीजिए।