int {frac{{{x^4}}}{{(x - 1)({x^2} + 1)}}dx} = | vedclass

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Question

(A) हमारे पास $I = \int \frac{x^4}{(x-1)(x^2+1)} dx$ है। बहुपद विभाजन या बीजगणितीय हेरफेर का उपयोग करते हुए: $x^4 = (x^4-1) + 1 = (x^2-1)(x^2+1) + 1 =

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$\frac{{x(x + 2)}}{2} + \frac{{\log |x - 1|}}{2} - \frac{{\log ({x^2} + 1)}}{4} - \frac{{{{	an }^{ - 1}}x}}{2} + c$

Vedclass · Answer

(A) हमारे पास $I = \int \frac{x^4}{(x-1)(x^2+1)} dx$ है। बहुपद विभाजन या बीजगणितीय हेरफेर का उपयोग करते हुए: $x^4 = (x^4-1) + 1 = (x^2-1)(x^2+1) + 1 = (x-1)(x+1)(x^2+1) + 1$. अतः,$\frac{x^4}{(x-1)(x^2+1)} = (x+1) + \frac{1}{(x-1)(x^2+1)}$. अब,$\frac{1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करते हैं। $1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)$. $x=1$ रखने पर,हमें $1 = 2A \implies A = 1/2$ प्राप्त होता है। गुणांकों की तुलना करने पर: $x^2: A+B=0 \implies B = -1/2$. अचर पद: $A-C=1 \implies C = A-1 = 1/2 - 1 = -1/2$. इस प्रकार,$\frac{1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{x+1}{2(x^2+1)} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{x}{2(x^2+1)} - \frac{1}{2(x^2+1)}$. समाकलन करने पर: $\int (x+1) dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} dx - \frac{1}{4} \int \frac{2x}{x^2+1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$. $= \frac{x^2}{2} + x + \frac{1}{2} \log |x-1| - \frac{1}{4} \log (x^2+1) - \frac{1}{2} 	an^{-1} x + c$. $= \frac{x^2+2x}{2} + \frac{1}{2} \log |x-1| - \frac{1}{4} \log (x^2+1) - \frac{1}{2} 	an^{-1} x + c = \frac{x(x+2)}{2} + \frac{1}{2} \log |x-1| - \frac{1}{4} \log (x^2+1) - \frac{1}{2} 	an^{-1} x + c$.

$\int {\frac{{{x^4}}}{{(x - 1)({x^2} + 1)}}dx} = $

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