यदि R समुच्चय A पर एक तुल्यता संबंध (equivale | vedclass

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Question

(C) समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध $R$ तीन गुणों को संतुष्ट करता है: $1$. स्वतुल्यता: सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$। $2$. सममितता: यदि $(a, b)

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तुल्यता (Equivalence)

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(C) समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध $R$ तीन गुणों को संतुष्ट करता है: $1$. स्वतुल्यता: सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$। $2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R$,तो $(b, a) \in R$। $3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$,तो $(a, c) \in R$। अब,$R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\}$ पर विचार करें। $1$. स्वतुल्यता: चूंकि $(a, a) \in R$,इसलिए $(a, a) \in R^{-1}$। अतः,$R^{-1}$ स्वतुल्य है। $2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R^{-1}$,तो $(b, a) \in R$। चूंकि $R$ सममित है,$(a, b) \in R$,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in R^{-1}$। अतः,$R^{-1}$ सममित है। $3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R^{-1}$ और $(b, c) \in R^{-1}$,तो $(b, a) \in R$ और $(c, b) \in R$। चूंकि $R$ संक्रामक है,$(c, a) \in R$,जिसका अर्थ है कि $(a, c) \in R^{-1}$। अतः,$R^{-1}$ संक्रामक है। चूंकि $R^{-1}$ तीनों गुणों को संतुष्ट करता है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

यदि $R$ समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) है,तब $R^{-1}$ है

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