असमिका 2^{log_{sqrt{2}}(x - 1)} x + 5 के लि | vedclass

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Question

(B) असमिका $2^{\log_{\sqrt{2}}(x - 1)} > x + 5$ दी गई है। सबसे पहले,लघुगणकीय फलन का प्रांत (domain) देखें: $x - 1 > 0 \implies x > 1$। गुणधर्म $\log_{

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$(4, +\infty)$

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(B) असमिका $2^{\log_{\sqrt{2}}(x - 1)} > x + 5$ दी गई है। सबसे पहले,लघुगणकीय फलन का प्रांत (domain) देखें: $x - 1 > 0 \implies x > 1$। गुणधर्म $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_a(b)$ का उपयोग करने पर,$\log_{\sqrt{2}}(x - 1) = \log_{2^{1/2}}(x - 1) = 2 \log_2(x - 1) = \log_2((x - 1)^2)$। इसे असमिका में रखने पर: $2^{\log_2((x - 1)^2)} > x + 5$। चूंकि $2^{\log_2(y)} = y$,असमिका $(x - 1)^2 > x + 5$ हो जाती है। बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 > x + 5$। पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 3x - 4 > 0$। द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 4)(x + 1) > 0$। मूल $x = 4$ और $x = -1$ हैं। असमिका $x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$ के लिए सत्य है। प्रांत $x > 1$ को ध्यान में रखते हुए,$(x > 1)$ और $(x  4)$ का प्रतिच्छेदन $x > 4$ है। अतः,हल समुच्चय $(4, +\infty)$ है।

असमिका $2^{\log_{\sqrt{2}}(x - 1)} > x + 5$ के लिए,$x$ के वास्तविक मानों का समुच्चय है:

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